Номер 31, страница 161 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 31, страница 161.

Условие.

21.31. Составьте уравнение плоскости, симметричной плоскости $3x - 5y + z + 6 = 0$ относительно:

1) начала координат;

2) точки $M (1; 1; 3).$

Решение 1.

Решение 3.

Пусть исходная плоскость $\pi_1$ задана уравнением $3x - 5y + z + 6 = 0$. Плоскость $\pi_2$, симметричная плоскости $\pi_1$ относительно некоторой точки, параллельна исходной плоскости. Следовательно, ее нормальный вектор $\vec{n} = (3, -5, 1)$ будет таким же, а уравнение искомой плоскости будет иметь вид $3x - 5y + z + D' = 0$. Для нахождения коэффициента $D'$ воспользуемся определением центральной симметрии: для любой точки, лежащей на искомой плоскости, симметричная ей точка относительно центра симметрии должна лежать на исходной плоскости.

1) начала координат

Найдем уравнение плоскости, симметричной данной относительно начала координат $O(0, 0, 0)$. Пусть произвольная точка $P(x, y, z)$ принадлежит искомой плоскости $\pi_2$. Точка $P'(-x, -y, -z)$, симметричная ей относительно начала координат, должна принадлежать исходной плоскости $\pi_1$. Подставим координаты точки $P'$ в уравнение плоскости $\pi_1$:
$3(-x) - 5(-y) + (-z) + 6 = 0$
$-3x + 5y - z + 6 = 0$
Для приведения к стандартному виду умножим обе части уравнения на $-1$:
$3x - 5y + z - 6 = 0$
Это и есть уравнение искомой плоскости.

Ответ: $3x - 5y + z - 6 = 0$

2) точки M (1; 1; 3)

Найдем уравнение плоскости, симметричной данной относительно точки $M(1, 1, 3)$. Пусть произвольная точка $P'(x', y', z')$ принадлежит искомой плоскости $\pi_2$. Точка $P(x, y, z)$, симметричная ей относительно точки $M$, должна принадлежать исходной плоскости $\pi_1$. Точка $M$ является серединой отрезка $PP'$, поэтому ее координаты равны полусуммам соответствующих координат точек $P$ и $P'$:
$x_M = \frac{x + x'}{2} \implies 1 = \frac{x + x'}{2} \implies x = 2 - x'$
$y_M = \frac{y + y'}{2} \implies 1 = \frac{y + y'}{2} \implies y = 2 - y'$
$z_M = \frac{z + z'}{2} \implies 3 = \frac{z + z'}{2} \implies z = 6 - z'$
Подставим полученные выражения для координат точки $P$ в уравнение исходной плоскости $\pi_1$:
$3(2 - x') - 5(2 - y') + (6 - z') + 6 = 0$
Раскроем скобки и приведем подобные слагаемые:
$6 - 3x' - 10 + 5y' + 6 - z' + 6 = 0$
$-3x' + 5y' - z' + (6 - 10 + 6 + 6) = 0$
$-3x' + 5y' - z' + 8 = 0$
Умножим обе части уравнения на $-1$:
$3x' - 5y' + z' - 8 = 0$
Поскольку $(x', y', z')$ — это координаты произвольной точки искомой плоскости, мы можем заменить их на $(x, y, z)$, чтобы получить общее уравнение плоскости.

Ответ: $3x - 5y + z - 8 = 0$