Номер 27, страница 161 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 27, страница 161.

Условие.

21.27. Составьте уравнение плоскости, проходящей через середину отрезка $AB$ и перпендикулярной ему, если $A(7; -4; 3)$, $B(-1; 0; 1)$.

Решение 1.

Решение 3.

Для составления уравнения плоскости необходимо знать координаты одной точки, принадлежащей этой плоскости, и координаты вектора нормали (перпендикулярного к плоскости).

1. Найдём координаты точки, через которую проходит плоскость. По условию, это середина отрезка AB. Обозначим эту точку как M. Координаты середины отрезка вычисляются как среднее арифметическое координат его концов. Для точек $A(7; -4; 3)$ и $B(-1; 0; 1)$ имеем:

$x_M = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{7 + (-1)}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$y_M = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{-4 + 0}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

$z_M = \frac{z_A + z_B}{2} = \frac{3 + 1}{2} = \frac{4}{2} = 2$

Таким образом, плоскость проходит через точку $M(3; -2; 2)$.

2. Найдём вектор нормали к плоскости. По условию, плоскость перпендикулярна отрезку AB. Следовательно, вектор $\vec{AB}$ является вектором нормали к искомой плоскости. Найдём его координаты:

$\vec{n} = \vec{AB} = (x_B - x_A; y_B - y_A; z_B - z_A) = (-1 - 7; 0 - (-4); 1 - 3) = (-8; 4; -2)$

3. Составим уравнение плоскости. Общее уравнение плоскости, проходящей через точку $M(x_0; y_0; z_0)$ с вектором нормали $\vec{n}=(A; B; C)$, имеет вид:

$A(x - x_0) + B(y - y_0) + C(z - z_0) = 0$

Подставим в это уравнение координаты точки $M(3; -2; 2)$ и вектора нормали $\vec{n}=(-8; 4; -2)$:

$-8(x - 3) + 4(y - (-2)) - 2(z - 2) = 0$

Раскроем скобки:

$-8x + 24 + 4(y + 2) - 2z + 4 = 0$

$-8x + 24 + 4y + 8 - 2z + 4 = 0$

Приведём подобные слагаемые:

$-8x + 4y - 2z + 36 = 0$

Для получения более простого вида уравнения можно разделить все его члены на -2:

$4x - 2y + z - 18 = 0$

Ответ: $4x - 2y + z - 18 = 0$.