Номер 32, страница 162 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 32, страница 162.

Условие.

21.32. Как изменится, увеличится или уменьшится, и во сколько раз площадь боковой поверхности цилиндра, если:

1) радиус его основания увеличить в 3 раза, а высоту — в 4 раза;

2) радиус его основания уменьшить в 2 раза, а высоту увеличить в 6 раз?

Решение 1.

Решение 3.

Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле $S_{бок} = 2 \pi R H$, где $R$ – это радиус основания цилиндра, а $H$ – его высота.

1) радиус его основания увеличить в 3 раза, а высоту – в 4 раза;

Пусть начальная площадь боковой поверхности равна $S_1 = 2 \pi R_1 H_1$.

Согласно условию, новый радиус $R_2 = 3R_1$, а новая высота $H_2 = 4H_1$.

Найдем новую площадь боковой поверхности $S_2$, подставив новые значения в формулу:

$S_2 = 2 \pi R_2 H_2 = 2 \pi (3R_1)(4H_1) = 12 \cdot (2 \pi R_1 H_1)$.

Поскольку $S_1 = 2 \pi R_1 H_1$, то $S_2 = 12 S_1$.

Чтобы определить, во сколько раз изменилась площадь, найдем отношение новой площади к старой:

$\frac{S_2}{S_1} = \frac{12 S_1}{S_1} = 12$.

Это означает, что площадь боковой поверхности увеличится в 12 раз.

Ответ: увеличится в 12 раз.

2) радиус его основания уменьшить в 2 раза, а высоту увеличить в 6 раз;

Пусть начальная площадь боковой поверхности равна $S_1 = 2 \pi R_1 H_1$.

Согласно условию, новый радиус $R_2 = \frac{R_1}{2}$, а новая высота $H_2 = 6H_1$.

Найдем новую площадь боковой поверхности $S_2$:

$S_2 = 2 \pi R_2 H_2 = 2 \pi (\frac{R_1}{2})(6H_1) = \frac{6}{2} \cdot (2 \pi R_1 H_1) = 3 \cdot (2 \pi R_1 H_1)$.

Поскольку $S_1 = 2 \pi R_1 H_1$, то $S_2 = 3 S_1$.

Найдем отношение новой площади к старой:

$\frac{S_2}{S_1} = \frac{3 S_1}{S_1} = 3$.

Это означает, что площадь боковой поверхности увеличится в 3 раза.

Ответ: увеличится в 3 раза.