Номер 38, страница 162 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 38, страница 162.

Условие.

21.38. Площадь полной поверхности цилиндра, описанного около куба, равна $S$. Найдите площадь поверхности куба.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $a$ — длина ребра куба. Площадь полной поверхности куба, $S_{куба}$, вычисляется по формуле:
$S_{куба} = 6a^2$.

Цилиндр описан около куба. Это означает, что высота цилиндра $h$ равна ребру куба, а основания куба (квадраты) вписаны в основания цилиндра (круги).
Следовательно, высота цилиндра $h = a$.
Диаметр основания цилиндра равен диагонали квадратного основания куба. Диагональ квадрата со стороной $a$ равна $a\sqrt{2}$.
Значит, диаметр основания цилиндра $D = a\sqrt{2}$, а радиус $r = \frac{D}{2} = \frac{a\sqrt{2}}{2}$.

Площадь полной поверхности цилиндра $S$ складывается из площади боковой поверхности ($S_{бок}$) и площади двух оснований ($2S_{осн}$).
$S = S_{бок} + 2S_{осн}$
Площадь боковой поверхности цилиндра: $S_{бок} = 2\pi rh = 2\pi \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)a = \pi a^2\sqrt{2}$.
Площадь одного основания цилиндра: $S_{осн} = \pi r^2 = \pi \left(\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)^2 = \pi \frac{a^2 \cdot 2}{4} = \frac{\pi a^2}{2}$.
Тогда площадь полной поверхности цилиндра равна:
$S = \pi a^2\sqrt{2} + 2 \cdot \frac{\pi a^2}{2} = \pi a^2\sqrt{2} + \pi a^2 = \pi a^2(1 + \sqrt{2})$.

Теперь выразим $a^2$ через $S$ из полученного уравнения:
$a^2 = \frac{S}{\pi(1 + \sqrt{2})}$.

Наконец, подставим это выражение в формулу для площади поверхности куба:
$S_{куба} = 6a^2 = 6 \cdot \frac{S}{\pi(1 + \sqrt{2})} = \frac{6S}{\pi(1 + \sqrt{2})}$.

Для упрощения ответа избавимся от иррациональности в знаменателе, умножив числитель и знаменатель на сопряженное выражение $(\sqrt{2}-1)$:
$S_{куба} = \frac{6S}{\pi(1 + \sqrt{2})} \cdot \frac{\sqrt{2}-1}{\sqrt{2}-1} = \frac{6S(\sqrt{2}-1)}{\pi((\sqrt{2})^2 - 1^2)} = \frac{6S(\sqrt{2}-1)}{\pi(2-1)} = \frac{6S(\sqrt{2}-1)}{\pi}$.

Ответ: $\frac{6S(\sqrt{2}-1)}{\pi}$.