Номер 44, страница 163 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 44, страница 163.

Условие.

21.44. Радиус большего основания усечённого конуса равен 20 см, высота – $8\sqrt{3}$ см, а угол между образующей и плоскостью большего основания равен $60^{\circ}$. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

Решение 1.

Решение 3.

Площадь боковой поверхности усеченного конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi(R+r)l$, где $R$ – радиус большего основания, $r$ – радиус меньшего основания, а $l$ – длина образующей.

По условию задачи даны: радиус большего основания $R = 20$ см, высота $h = 8\sqrt{3}$ см, угол между образующей и плоскостью большего основания $\alpha = 60°$.

Для вычисления площади необходимо найти длину образующей $l$ и радиус меньшего основания $r$. Рассмотрим осевое сечение усеченного конуса, которое является равнобокой трапецией. Проведем высоту из вершины меньшего основания на большее. Образуется прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза – это образующая $l$, один катет – высота $h$, а второй катет – разность радиусов $R-r$. Угол между образующей (гипотенузой) и большим основанием (прилежащим катетом $R-r$) равен $\alpha=60°$.

Найдем образующую $l$.
В полученном прямоугольном треугольнике синус угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета $h$ к гипотенузе $l$:
$\sin(\alpha) = \frac{h}{l}$
Отсюда выразим $l$:
$l = \frac{h}{\sin(\alpha)} = \frac{8\sqrt{3}}{\sin(60°)}$
Поскольку $\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$, то:
$l = \frac{8\sqrt{3}}{\frac{\sqrt{3}}{2}} = 8\sqrt{3} \cdot \frac{2}{\sqrt{3}} = 16$ см.

Найдем радиус меньшего основания $r$.
В том же прямоугольном треугольнике тангенс угла $\alpha$ равен отношению противолежащего катета $h$ к прилежащему катету $R-r$:
$\tan(\alpha) = \frac{h}{R-r}$
Отсюда выразим $R-r$:
$R-r = \frac{h}{\tan(\alpha)} = \frac{8\sqrt{3}}{\tan(60°)}$
Поскольку $\tan(60°) = \sqrt{3}$, то:
$R-r = \frac{8\sqrt{3}}{\sqrt{3}} = 8$ см.
Зная, что $R = 20$ см, найдем $r$:
$r = R - 8 = 20 - 8 = 12$ см.

Вычислим площадь боковой поверхности.
Теперь, зная все необходимые параметры ($R=20$ см, $r=12$ см, $l=16$ см), подставим их в формулу:
$S_{бок} = \pi(R+r)l = \pi(20+12) \cdot 16 = \pi \cdot 32 \cdot 16 = 512\pi$ см².

Ответ: $512\pi$ см².