Номер 48, страница 163 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 48, страница 163.

Условие.

21.48. Высота усечённого конуса равна 4 см, а угол между его образующей и плоскостью большего основания составляет $60^\circ$. Диагональ осевого сечения усечённого конуса перпендикулярна боковой стороне сечения. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса.

Решение 1.

Решение 3.

Рассмотрим осевое сечение усечённого конуса. Это равнобокая трапеция $ABCD$, где $AD$ и $BC$ — её основания, которые являются диаметрами оснований конуса ($AD=2R$, $BC=2r$), а $CD$ — боковая сторона, равная образующей конуса ($CD=l$). Высота трапеции $CK$ равна высоте конуса $h=4$ см.

По условию, угол между образующей и плоскостью большего основания равен $60^\circ$. В трапеции это угол $\angle CDA = 60^\circ$. Также по условию, диагональ осевого сечения $AC$ перпендикулярна боковой стороне $CD$, что означает $\angle ACD = 90^\circ$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ACD$. Он является прямоугольным, так как $\angle ACD = 90^\circ$. Мы знаем угол $\angle CDA = 60^\circ$. Сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, следовательно, третий угол: $\angle CAD = 180^\circ - 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Теперь, зная все углы в прямоугольном треугольнике $\triangle ACD$, мы можем связать его стороны. Гипотенузой является сторона $AD = 2R$, катетами — $AC$ и $CD = l$. Из определения косинуса: $\cos(\angle CDA) = \frac{CD}{AD}$ $\cos(60^\circ) = \frac{l}{2R}$ $\frac{1}{2} = \frac{l}{2R}$ Отсюда следует, что $l = R$.

Проведём высоту $CK=h=4$ см в трапеции. В прямоугольном треугольнике $\triangle CKD$ с углом $\angle CDK = 60^\circ$: $\sin(\angle CDK) = \frac{CK}{CD}$ $\sin(60^\circ) = \frac{4}{l}$ $\frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{4}{l}$ Из этого уравнения находим длину образующей $l$: $l = \frac{4 \cdot 2}{\sqrt{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$ см.

Так как мы установили, что $R = l$, то радиус большего основания: $R = \frac{8\sqrt{3}}{3}$ см.

В равнобокой трапеции отрезок $KD$, отсекаемый высотой на большем основании, равен полуразности оснований: $KD = \frac{AD - BC}{2} = \frac{2R - 2r}{2} = R - r$. Из того же прямоугольного треугольника $\triangle CKD$: $KD = CK \cdot \cot(\angle CDK) = 4 \cdot \cot(60^\circ) = 4 \cdot \frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ см. Зная $R$ и $KD$, находим радиус меньшего основания $r$: $r = R - KD = \frac{8\sqrt{3}}{3} - \frac{4\sqrt{3}}{3} = \frac{4\sqrt{3}}{3}$ см.

Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле $S_{бок} = \pi(R+r)l$. Подставим найденные значения $R$, $r$ и $l$: $S_{бок} = \pi \left(\frac{8\sqrt{3}}{3} + \frac{4\sqrt{3}}{3}\right) \cdot \frac{8\sqrt{3}}{3}$ $S_{бок} = \pi \left(\frac{12\sqrt{3}}{3}\right) \cdot \frac{8\sqrt{3}}{3}$ $S_{бок} = \pi \cdot 4\sqrt{3} \cdot \frac{8\sqrt{3}}{3} = \frac{32\pi \cdot (\sqrt{3})^2}{3} = \frac{32\pi \cdot 3}{3} = 32\pi$ см².

Ответ: $32\pi$ см².