Номер 53, страница 163 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 53, страница 163.

Условие.

21.53. Найдите координаты центра и радиус сферы $x^2 + y^2 + z^2 + 4x + 2y - 8z - 4 = 0$. Как расположена точка A (1; 2; 5) относительно данной сферы?

Решение 1.

Решение 3.

Найдите координаты центра и радиус сферы

Общее уравнение сферы с центром в точке $C(x_0, y_0, z_0)$ и радиусом $R$ имеет вид: $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$.

Исходное уравнение сферы: $x^2 + y^2 + z^2 + 4x + 2y - 8z - 4 = 0$.

Для нахождения координат центра и радиуса необходимо привести данное уравнение к каноническому виду. Для этого сгруппируем слагаемые с одинаковыми переменными и выделим полные квадраты.

$(x^2 + 4x) + (y^2 + 2y) + (z^2 - 8z) - 4 = 0$

Выделяем полный квадрат для каждой переменной, используя формулу $a^2 \pm 2ab + b^2 = (a \pm b)^2$:

• Для $x$: $x^2 + 4x = (x^2 + 2 \cdot x \cdot 2 + 2^2) - 2^2 = (x + 2)^2 - 4$
• Для $y$: $y^2 + 2y = (y^2 + 2 \cdot y \cdot 1 + 1^2) - 1^2 = (y + 1)^2 - 1$
• Для $z$: $z^2 - 8z = (z^2 - 2 \cdot z \cdot 4 + 4^2) - 4^2 = (z - 4)^2 - 16$

Подставляем эти выражения обратно в уравнение:

$((x + 2)^2 - 4) + ((y + 1)^2 - 1) + ((z - 4)^2 - 16) - 4 = 0$

Раскрываем скобки и переносим свободные члены в правую часть:

$(x + 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 4)^2 - 4 - 1 - 16 - 4 = 0$

$(x + 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 4)^2 - 25 = 0$

$(x + 2)^2 + (y + 1)^2 + (z - 4)^2 = 25$

Сравнивая полученное уравнение с каноническим видом $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$, находим:

• Координаты центра: $x_0 = -2$, $y_0 = -1$, $z_0 = 4$. Таким образом, центр сферы — точка $C(-2; -1; 4)$.
• Квадрат радиуса: $R^2 = 25$. Радиус $R = \sqrt{25} = 5$.

Ответ: Координаты центра сферы $(-2; -1; 4)$, радиус сферы $R = 5$.

Как расположена точка A (1; 2; 5) относительно данной сферы?

Чтобы определить положение точки $A$ относительно сферы, нужно найти расстояние $d$ от точки $A$ до центра сферы $C(-2; -1; 4)$ и сравнить его с радиусом $R=5$.

• Если $d < R$, точка находится внутри сферы.
• Если $d = R$, точка находится на поверхности сферы.
• Если $d > R$, точка находится вне сферы.

Расстояние между двумя точками $A(x_A; y_A; z_A)$ и $C(x_C; y_C; z_C)$ вычисляется по формуле:

$d = \sqrt{(x_C - x_A)^2 + (y_C - y_A)^2 + (z_C - z_A)^2}$

Подставим координаты точек $A(1; 2; 5)$ и $C(-2; -1; 4)$:

$d = \sqrt{(-2 - 1)^2 + (-1 - 2)^2 + (4 - 5)^2}$

$d = \sqrt{(-3)^2 + (-3)^2 + (-1)^2}$

$d = \sqrt{9 + 9 + 1} = \sqrt{19}$

Теперь сравним полученное расстояние $d = \sqrt{19}$ с радиусом $R = 5$.

Так как $5 = \sqrt{25}$, а $19 < 25$, то $\sqrt{19} < \sqrt{25}$.

Следовательно, $d < R$. Это означает, что расстояние от точки A до центра сферы меньше ее радиуса.

Ответ: Точка A расположена внутри сферы.