Номер 59, страница 164 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 59, страница 164.

Условие.

21.59. Сфера пересечена плоскостью, отстоящей от её центра на 24 см.

Найдите радиус сферы, если длина полученного сечения составляет $ \frac{3}{5} $ длины сечения сферы плоскостью, проходящей через её центр.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $R$ — искомый радиус сферы, а $d$ — расстояние от центра сферы до секущей плоскости. По условию, $d = 24$ см.

Сечение сферы плоскостью представляет собой окружность. Обозначим радиус этой окружности как $r$. Длина (длина окружности) этого сечения вычисляется по формуле $C = 2\pi r$.

Сечение сферы плоскостью, проходящей через её центр, называется большим кругом. Радиус большого круга равен радиусу сферы $R$. Длина большой окружности равна $C_{max} = 2\pi R$.

Согласно условию задачи, длина полученного сечения составляет $\frac{3}{5}$ длины сечения, проходящего через центр сферы:

$C = \frac{3}{5} C_{max}$

Подставим в это соотношение формулы для длин окружностей:

$2\pi r = \frac{3}{5} (2\pi R)$

Сократив обе части уравнения на $2\pi$, мы найдем зависимость между радиусом сечения $r$ и радиусом сферы $R$:

$r = \frac{3}{5} R$

Радиус сферы $R$, радиус сечения $r$ и расстояние от центра сферы до плоскости сечения $d$ связаны между собой как гипотенуза и катеты прямоугольного треугольника. По теореме Пифагора:

$R^2 = d^2 + r^2$

Подставим в это уравнение известные нам значения $d=24$ и выражение для $r$ через $R$:

$R^2 = 24^2 + (\frac{3}{5}R)^2$

$R^2 = 576 + \frac{9}{25}R^2$

Теперь решим это уравнение относительно $R$:

$R^2 - \frac{9}{25}R^2 = 576$

$\frac{25R^2 - 9R^2}{25} = 576$

$\frac{16}{25}R^2 = 576$

$R^2 = \frac{576 \cdot 25}{16}$

Поскольку $576 : 16 = 36$, получаем:

$R^2 = 36 \cdot 25$

$R^2 = 900$

$R = \sqrt{900} = 30$ (см)

Ответ: 30 см.