Номер 65, страница 164 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 65, страница 164.

Условие.

21.65. Найдите отношение радиуса шара, вписанного в правильную треугольную призму, к радиусу шара, описанного около этой призмы.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана правильная треугольная призма, у которой сторона основания равна $a$, а высота равна $h$. Обозначим радиус вписанного шара как $r$, а радиус описанного шара как $R$.

Нахождение радиуса вписанного шара ($r$)

Чтобы в призму можно было вписать шар, необходимо, чтобы он касался обоих оснований и всех боковых граней. Это возможно только в том случае, если высота призмы $h$ равна диаметру окружности, вписанной в ее основание. Центр такого шара будет находиться на середине высоты призмы.

Радиус вписанного в призму шара $r$ равен радиусу окружности, вписанной в основание (правильный треугольник со стороной $a$). Этот радиус, $r_{осн}$, вычисляется по формуле:

$r = r_{осн} = \frac{a}{2\sqrt{3}}$

Так как высота призмы $h$ равна диаметру вписанного шара, то:

$h = 2r = 2 \cdot \frac{a}{2\sqrt{3}} = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Это соотношение между высотой и стороной основания является необходимым условием для существования вписанного шара.

Нахождение радиуса описанного шара ($R$)

Центр описанного шара совпадает с центром вписанного шара и также находится на середине высоты призмы. Радиус описанного шара $R$ — это расстояние от его центра до любой вершины призмы.

Рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом описанного шара $R$ (гипотенуза), половиной высоты призмы $\frac{h}{2}$ (один катет) и радиусом окружности, описанной около основания призмы $R_{осн}$ (второй катет). По теореме Пифагора имеем:

$R^2 = (\frac{h}{2})^2 + R_{осн}^2$

Из предыдущего пункта мы знаем, что $\frac{h}{2} = r = \frac{a}{2\sqrt{3}}$.

Радиус окружности, описанной около правильного треугольника со стороной $a$, вычисляется по формуле:

$R_{осн} = \frac{a}{\sqrt{3}}$

Теперь подставим найденные значения в формулу для $R^2$:

$R^2 = (\frac{a}{2\sqrt{3}})^2 + (\frac{a}{\sqrt{3}})^2 = \frac{a^2}{4 \cdot 3} + \frac{a^2}{3} = \frac{a^2}{12} + \frac{4a^2}{12} = \frac{5a^2}{12}$

Отсюда находим радиус описанного шара:

$R = \sqrt{\frac{5a^2}{12}} = \frac{a\sqrt{5}}{\sqrt{12}} = \frac{a\sqrt{5}}{2\sqrt{3}}$

Нахождение отношения радиусов

Теперь найдем искомое отношение радиуса вписанного шара $r$ к радиусу описанного шара $R$:

$\frac{r}{R} = \frac{\frac{a}{2\sqrt{3}}}{\frac{a\sqrt{5}}{2\sqrt{3}}}$

Сокращая общие множители $\frac{a}{2\sqrt{3}}$, получаем:

$\frac{r}{R} = \frac{1}{\sqrt{5}}$

Для избавления от иррациональности в знаменателе умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{5}$:

$\frac{r}{R} = \frac{1 \cdot \sqrt{5}}{\sqrt{5} \cdot \sqrt{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}$

Ответ: $\frac{\sqrt{5}}{5}$