Номер 61, страница 164 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 61, страница 164.

Условие.

21.61. В шар вписана правильная шестиугольная призма $\text{ABCDEF}A_1B_1C_1D_1E_1F_1$. Радиус шара, проведённый в вершину А, образует с плоскостью грани $AA_1B_1B$ угол $45^\circ$. Найдите площадь боковой поверхности призмы, если радиус шара равен 4 см.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть $O$ — центр шара, который также является центром симметрии вписанной правильной шестиугольной призмы. Обозначим радиус шара как $R$, сторону основания призмы как $a$, и высоту призмы как $h$. По условию, $R = 4$ см.

Площадь боковой поверхности правильной шестиугольной призмы вычисляется по формуле $S_{бок} = P \cdot h$, где $P$ — периметр основания. Для правильного шестиугольника $P = 6a$, следовательно, $S_{бок} = 6ah$. Наша задача — найти $a$ и $h$.

Так как призма вписана в шар, все ее вершины лежат на поверхности шара. Рассмотрим вершину $A$ и центр основания $ABCDEF$, который обозначим $O_1$. Расстояние от центра правильного шестиугольника до его вершины равно стороне шестиугольника, то есть $O_1A = a$. Расстояние от центра шара $O$ до плоскости основания равно половине высоты призмы, то есть $OO_1 = \frac{h}{2}$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OO_1A$. Гипотенуза $OA$ является радиусом шара $R$. По теореме Пифагора:

$OA^2 = OO_1^2 + O_1A^2$

$R^2 = \left(\frac{h}{2}\right)^2 + a^2$

Подставив значение $R = 4$, получим первое уравнение, связывающее $a$ и $h$:

$4^2 = \frac{h^2}{4} + a^2 \implies 16 = \frac{h^2}{4} + a^2$

Теперь используем второе условие задачи. Радиус шара $OA$, проведенный в вершину $A$, образует с плоскостью грани $AA_1B_1B$ угол $45^\circ$. Угол между прямой и плоскостью — это угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость.

Пусть $H$ — проекция точки $O$ на плоскость грани $AA_1B_1B$. Тогда $\triangle OHA$ — прямоугольный, и $\angle OAH = 45^\circ$. Расстояние от точки $O$ до плоскости $(AA_1B_1B)$ равно длине катета $OH$. Из треугольника $\triangle OHA$ имеем:

$OH = OA \cdot \sin(\angle OAH) = R \cdot \sin(45^\circ) = 4 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = 2\sqrt{2}$ см.

Расстояние от центра правильной призмы $O$ до ее боковой грани $(AA_1B_1B)$ равно расстоянию от оси призмы до этой грани. Это расстояние равно апофеме правильного шестиугольника, лежащего в основании. Апофема правильного шестиугольника со стороной $a$ вычисляется по формуле $a_p = a \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Следовательно, $OH = a \frac{\sqrt{3}}{2}$.

Приравнивая два полученных выражения для $OH$, найдем сторону основания $a$:

$a \frac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{2}$

$a = \frac{4\sqrt{2}}{\sqrt{3}} = \frac{4\sqrt{6}}{3}$ см.

Теперь, зная $a$, найдем высоту призмы $h$ из первого уравнения:

$16 = \frac{h^2}{4} + a^2$

$16 = \frac{h^2}{4} + \left(\frac{4\sqrt{6}}{3}\right)^2$

$16 = \frac{h^2}{4} + \frac{16 \cdot 6}{9} = \frac{h^2}{4} + \frac{32}{3}$

$\frac{h^2}{4} = 16 - \frac{32}{3} = \frac{48-32}{3} = \frac{16}{3}$

$h^2 = \frac{64}{3}$

$h = \sqrt{\frac{64}{3}} = \frac{8}{\sqrt{3}} = \frac{8\sqrt{3}}{3}$ см.

Наконец, вычислим площадь боковой поверхности призмы:

$S_{бок} = 6ah = 6 \cdot \frac{4\sqrt{6}}{3} \cdot \frac{8\sqrt{3}}{3} = \frac{6 \cdot 4 \cdot 8 \cdot \sqrt{18}}{9} = \frac{192 \cdot 3\sqrt{2}}{9} = \frac{192\sqrt{2}}{3} = 64\sqrt{2}$ см$^2$.

Ответ: $64\sqrt{2}$ см$^2$.