Номер 54, страница 163 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 54, страница 163.

Условие.

21.54. Составьте уравнение сферы, диаметром которой является отрезок $AB$, если $A (4; -5; 3)$ и $B (6; 1; 5)$.

Решение 1.

Решение 3.

Общее уравнение сферы с центром в точке $C(x_0; y_0; z_0)$ и радиусом $R$ имеет вид:

$(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 + (z - z_0)^2 = R^2$

Чтобы составить уравнение сферы, нам необходимо найти координаты ее центра и радиус.

1. Нахождение центра сферы.

По условию, отрезок $AB$ является диаметром сферы. Центр сферы — это середина ее диаметра. Найдем координаты центра $C(x_0; y_0; z_0)$ как координаты середины отрезка $AB$, где $A(4; -5; 3)$ и $B(6; 1; 5)$.

$x_0 = \frac{x_A + x_B}{2} = \frac{4 + 6}{2} = \frac{10}{2} = 5$

$y_0 = \frac{y_A + y_B}{2} = \frac{-5 + 1}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

$z_0 = \frac{z_A + z_B}{2} = \frac{3 + 5}{2} = \frac{8}{2} = 4$

Таким образом, центр сферы находится в точке $C(5; -2; 4)$.

2. Нахождение радиуса сферы.

Радиус сферы $R$ равен половине длины диаметра $AB$. Найдем квадрат длины диаметра $d^2 = |AB|^2$ по формуле расстояния между двумя точками:

$d^2 = (x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2$

$d^2 = (6 - 4)^2 + (1 - (-5))^2 + (5 - 3)^2 = 2^2 + (1 + 5)^2 + 2^2 = 4 + 6^2 + 4 = 4 + 36 + 4 = 44$

Квадрат радиуса $R^2$ равен четверти квадрата диаметра:

$R^2 = \frac{d^2}{4} = \frac{44}{4} = 11$

(Также радиус можно было найти как расстояние от центра $C(5; -2; 4)$ до одной из точек на сфере, например, до точки $A(4; -5; 3)$: $R^2 = (4-5)^2 + (-5-(-2))^2 + (3-4)^2 = (-1)^2 + (-3)^2 + (-1)^2 = 1+9+1=11$).

3. Составление уравнения сферы.

Подставим найденные координаты центра $C(5; -2; 4)$ и квадрат радиуса $R^2 = 11$ в общее уравнение сферы:

$(x - 5)^2 + (y - (-2))^2 + (z - 4)^2 = 11$

$(x - 5)^2 + (y + 2)^2 + (z - 4)^2 = 11$

Ответ: $(x - 5)^2 + (y + 2)^2 + (z - 4)^2 = 11$.