Номер 58, страница 164 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 58, страница 164.

Условие.

данной прямой в данной точке!

21.58. Катеты прямоугольного треугольника равны 6 см и 8 см. Стороны этого треугольника касаются сферы. Расстояние от центра сферы до плоскости данного треугольника равно $2\sqrt{3}$ см. Найдите радиус сферы.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дан прямоугольный треугольник с катетами $a = 6$ см и $b = 8$ см. Найдем его гипотенузу $c$ по теореме Пифагора:

$c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{6^2 + 8^2} = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10$ см.

Пусть $O$ - центр сферы, а $R$ - ее радиус. Пусть $\alpha$ - плоскость, в которой лежит треугольник. По условию, расстояние от центра сферы до плоскости треугольника равно $d = 2\sqrt{3}$ см. Опустим перпендикуляр $OO'$ из центра сферы $O$ на плоскость $\alpha$, тогда $OO' = d$.

Так как стороны треугольника касаются сферы, то проекция центра сферы на плоскость треугольника, точка $O'$, является центром окружности, вписанной в этот треугольник. Расстояние от точки $O'$ до сторон треугольника равно радиусу вписанной окружности $r$.

Найдем радиус $r$ вписанной в прямоугольный треугольник окружности по формуле:

$r = \frac{a + b - c}{2}$

Подставим значения катетов и гипотенузы:

$r = \frac{6 + 8 - 10}{2} = \frac{4}{2} = 2$ см.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник, образованный радиусом сферы $R$, радиусом вписанной окружности $r$ и расстоянием от центра сферы до плоскости треугольника $d$. В этом треугольнике $R$ является гипотенузой, а $r$ и $d$ - катетами. По теореме Пифагора:

$R^2 = d^2 + r^2$

Подставим известные значения $d = 2\sqrt{3}$ см и $r = 2$ см:

$R^2 = (2\sqrt{3})^2 + 2^2 = 4 \cdot 3 + 4 = 12 + 4 = 16$

$R = \sqrt{16} = 4$ см.

Ответ: 4 см.