Номер 62, страница 164 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 62, страница 164.

Условие.

21.62. Боковое ребро правильной треугольной пирамиды равно 6 см и образует с плоскостью основания угол $60^\circ$. Найдите радиус шара, описанного около данной пирамиды.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дана правильная треугольная пирамида $SABC$ с вершиной $S$. Основание $ABC$ — равносторонний треугольник. Высота пирамиды $SO$ опускается в центр основания $O$, который также является центром описанной около треугольника $ABC$ окружности.

Боковое ребро пирамиды $SA = 6$ см. Угол, который боковое ребро образует с плоскостью основания, — это угол между самим ребром $SA$ и его проекцией на плоскость основания, то есть отрезком $OA$. Таким образом, по условию $\angle SAO = 60^\circ$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $SOA$. В нем гипотенуза $SA$ равна длине бокового ребра $l$, катет $SO$ — это высота пирамиды $H$, а катет $OA$ — это радиус $R_{осн}$ окружности, описанной около основания.

Найдем высоту $H$ и радиус $R_{осн}$:

$H = SO = SA \cdot \sin(\angle SAO) = 6 \cdot \sin(60^\circ) = 6 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 3\sqrt{3}$ см.

$R_{осн} = OA = SA \cdot \cos(\angle SAO) = 6 \cdot \cos(60^\circ) = 6 \cdot \frac{1}{2} = 3$ см.

Центр шара, описанного около правильной пирамиды, всегда лежит на ее высоте. Обозначим центр шара точкой $Q$, а его радиус — $R$. Поскольку все вершины пирамиды лежат на поверхности шара, расстояния от центра $Q$ до всех вершин равны радиусу $R$. В частности, $QA = QS = R$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $QOA$. По теореме Пифагора имеем: $QA^2 = QO^2 + OA^2$.

Точка $Q$ лежит на отрезке $SO$, поэтому расстояние $QO$ можно выразить как разность высоты $SO$ и отрезка $QS$. То есть, $QO = SO - QS = H - R$.

Подставим все известные величины в уравнение теоремы Пифагора:

$R^2 = (H - R)^2 + R_{осн}^2$

Раскроем скобки и решим уравнение относительно $R$:

$R^2 = H^2 - 2HR + R^2 + R_{осн}^2$

$0 = H^2 - 2HR + R_{осн}^2$

$2HR = H^2 + R_{осн}^2$

$R = \frac{H^2 + R_{осн}^2}{2H}$

Подставим найденные значения $H = 3\sqrt{3}$ и $R_{осн} = 3$ в формулу:

$R = \frac{(3\sqrt{3})^2 + 3^2}{2 \cdot 3\sqrt{3}} = \frac{27 + 9}{6\sqrt{3}} = \frac{36}{6\sqrt{3}} = \frac{6}{\sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$R = \frac{6 \cdot \sqrt{3}}{\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}$ см.

Ответ: $2\sqrt{3}$ см.