Номер 66, страница 164 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 66, страница 164.

Условие.

21.66. Найдите площадь поверхности правильного тетраэдра, описанного около шара, радиус которого равен $R$.

Решение 1.

Решение 3.

Правильный тетраэдр — это многогранник, все четыре грани которого являются равными равносторонними треугольниками. Шар, вписанный в тетраэдр, касается каждой из его граней в центре.

Пусть $a$ — длина ребра правильного тетраэдра, $S$ — площадь его полной поверхности, $V$ — его объем, а $R$ — радиус вписанного шара.

Площадь поверхности правильного тетраэдра состоит из площадей четырех равносторонних треугольников со стороной $a$. Площадь одного такого треугольника равна $\frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Следовательно, полная площадь поверхности тетраэдра $S$ вычисляется по формуле:

$S = 4 \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} = a^2\sqrt{3}$

Чтобы выразить площадь $S$ через радиус вписанного шара $R$, необходимо найти связь между ребром $a$ и радиусом $R$. Для этого воспользуемся общей формулой, связывающей объем многогранника $V$, площадь его поверхности $S$ и радиус вписанной в него сферы $R$:

$V = \frac{1}{3} S R$

Из этой формулы можно выразить радиус:

$R = \frac{3V}{S}$

Найдем объем тетраэдра $V$ через длину ребра $a$. Объем пирамиды равен одной трети произведения площади основания на высоту. Площадь основания (равностороннего треугольника) $S_{осн} = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}$. Высота правильного тетраэдра $H$ равна $a\sqrt{\frac{2}{3}}$.

$V = \frac{1}{3} \cdot S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{4} \cdot a\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{a^3\sqrt{3}\sqrt{2}}{12\sqrt{3}} = \frac{a^3\sqrt{2}}{12}$

Теперь подставим выражения для $V$ и $S$ в формулу для радиуса $R$:

$R = \frac{3 \cdot \frac{a^3\sqrt{2}}{12}}{a^2\sqrt{3}} = \frac{\frac{a^3\sqrt{2}}{4}}{a^2\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{2}}{4\sqrt{3}} = \frac{a\sqrt{6}}{12}$

Мы получили соотношение между ребром тетраэдра $a$ и радиусом вписанного шара $R$. Теперь выразим $a$ через $R$:

$a = \frac{12R}{\sqrt{6}} = \frac{12R\sqrt{6}}{6} = 2R\sqrt{6}$

Наконец, подставим это выражение для $a$ в формулу площади поверхности $S$:

$S = a^2\sqrt{3} = (2R\sqrt{6})^2\sqrt{3} = (4R^2 \cdot 6)\sqrt{3} = 24R^2\sqrt{3}$

Ответ: $24R^2\sqrt{3}$