Номер 73, страница 165 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 73, страница 165.

Условие.

21.73. Найдите площадь боковой поверхности усечённого конуса, образующая которого равна 13 см, если известно, что в него можно вписать шар.

Решение 1.

Решение 3.

Площадь боковой поверхности усечённого конуса вычисляется по формуле:

$S_{бок} = \pi(R+r)l$,

где $R$ – радиус большего основания, $r$ – радиус меньшего основания, а $l$ – длина образующей.

По условию задачи, образующая $l = 13$ см.

Условие, что в усечённый конус можно вписать шар, означает, что в осевое сечение этого конуса можно вписать окружность. Осевым сечением усечённого конуса является равнобокая трапеция. В этой трапеции основаниями служат диаметры оснований конуса ($2R$ и $2r$), а боковыми сторонами – образующие конуса ($l$).

Свойство описанного четырёхугольника (в данном случае – равнобокой трапеции) заключается в том, что суммы длин его противоположных сторон равны. Следовательно, сумма длин боковых сторон трапеции равна сумме длин её оснований:

$l + l = 2R + 2r$

$2l = 2(R+r)$

$l = R+r$

Так как по условию $l=13$ см, то и сумма радиусов оснований $R+r = 13$ см.

Теперь можем подставить известные значения в формулу площади боковой поверхности:

$S_{бок} = \pi \cdot (R+r) \cdot l = \pi \cdot 13 \cdot 13 = 169\pi$ см$^2$.

Ответ: $169\pi$ см$^2$.