Номер 71, страница 165 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 71, страница 165.

Условие.

21.71. Радиус основания конуса равен 3 см, а радиус шара, вписанного в данный конус, – $\sqrt{3}$ см. Найдите угол при вершине осевого сечения конуса.

Решение 1.

Решение 3.

Рассмотрим осевое сечение конуса. Оно представляет собой равнобедренный треугольник, в который вписана окружность, являющаяся сечением вписанного шара.

Пусть $\triangle SAB$ — осевое сечение конуса, где $S$ — вершина, $AB$ — диаметр основания. $SO$ — высота конуса, $O$ — центр основания. По условию, радиус основания конуса $R = OA = 3$ см. Центр вписанного шара $O_s$ лежит на высоте $SO$. Радиус шара $r = \sqrt{3}$ см. Так как шар касается плоскости основания в точке $O$, то расстояние от центра шара до основания равно радиусу, то есть $O_sO = r = \sqrt{3}$ см.

Искомый угол при вершине осевого сечения — это $\angle ASB$. В равнобедренном треугольнике $\triangle SAB$ высота $SO$ является также и биссектрисой. Обозначим половину искомого угла $\angle ASO = \alpha$. Тогда $\angle ASB = 2\alpha$.

Центр вписанной в треугольник окружности ($O_s$) является точкой пересечения его биссектрис. Значит, отрезок $AO_s$ — биссектриса угла $\angle SAO$. В прямоугольном треугольнике $\triangle SOA$ сумма острых углов равна $90^\circ$, поэтому $\angle SAO = 90^\circ - \angle ASO = 90^\circ - \alpha$. Так как $AO_s$ — биссектриса, то $\angle OAO_s = \frac{\angle SAO}{2} = \frac{90^\circ - \alpha}{2}$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle OO_sA$. В нем известны длины катетов: $OA = R = 3$ см и $O_sO = r = \sqrt{3}$ см. Можем найти тангенс угла $\angle OAO_s$:$\tan(\angle OAO_s) = \frac{O_sO}{OA} = \frac{r}{R} = \frac{\sqrt{3}}{3}$.

Угол, тангенс которого равен $\frac{\sqrt{3}}{3}$, — это $30^\circ$. Таким образом, $\angle OAO_s = 30^\circ$.

Теперь мы можем составить и решить уравнение, приравняв два выражения для угла $\angle OAO_s$:$\frac{90^\circ - \alpha}{2} = 30^\circ$.
$90^\circ - \alpha = 60^\circ$
$\alpha = 90^\circ - 60^\circ = 30^\circ$.

Итак, половина угла при вершине осевого сечения равна $30^\circ$. Полный угол составляет:$\angle ASB = 2\alpha = 2 \cdot 30^\circ = 60^\circ$.

Ответ: $60^\circ$.