Номер 75, страница 165 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 75, страница 165.

Условие.

21.75. Сторона $AD$ основания прямоугольного параллелепипеда $ABCDA_1B_1C_1D_1$ равна $a$ и образует с диагональю основания угол $\alpha$. Плоскость, проходящая через прямые $AD$ и $B_1C_1$, образует с плоскостью основания угол $\beta$. Найдите объём прямоугольного параллелепипеда.

Решение 1.

Решение 3.

Объём прямоугольного параллелепипеда $V$ вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot h$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $h$ — высота.

Пусть дан прямоугольный параллелепипед $ABCDA_1B_1C_1D_1$. Его основание $ABCD$ — прямоугольник, а высота равна длине бокового ребра, например, $h = AA_1$. Для нахождения объёма нам необходимо определить длины трёх его измерений: $AD$, $AB$ и $AA_1$.

1. Нахождение сторон основания

По условию, сторона основания $AD = a$. Эта сторона образует с диагональю основания (например, $AC$) угол $\alpha$. Это означает, что $\angle DAC = \alpha$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $\triangle ADC$ (угол $\angle D = 90^\circ$, так как $ABCD$ — прямоугольник). В этом треугольнике нам известны катет $AD$ и прилежащий к нему острый угол $\angle DAC$. Мы можем найти второй катет $CD$ через тангенс этого угла:

$\tan(\alpha) = \frac{CD}{AD}$

Подставляя известное значение $AD = a$, получаем:

$CD = AD \cdot \tan(\alpha) = a \tan(\alpha)$

Поскольку $ABCD$ — прямоугольник, противолежащие стороны равны, следовательно, $AB = CD = a \tan(\alpha)$.

Теперь мы можем найти площадь основания:

$S_{осн} = AD \cdot AB = a \cdot (a \tan(\alpha)) = a^2 \tan(\alpha)$

2. Нахождение высоты параллелепипеда

Плоскость, проходящая через прямые $AD$ и $B_1C_1$, является сечением $AB_1C_1D$. Эта плоскость образует с плоскостью основания $ABCD$ угол $\beta$.

Угол между двумя плоскостями — это двугранный угол, который измеряется своим линейным углом. Линейный угол строится на линии пересечения плоскостей. Линией пересечения плоскостей $(AB_1C_1D)$ и $(ABCD)$ является прямая $AD$.

Для построения линейного угла выберем на прямой $AD$ точку $A$ и проведём из неё два луча, перпендикулярных $AD$, по одному в каждой плоскости.

• В плоскости основания $(ABCD)$ перпендикуляром к $AD$ является прямая $AB$, так как $ABCD$ — прямоугольник ($AB \perp AD$).
• Так как параллелепипед прямоугольный, его боковая грань $(ABB_1A_1)$ перпендикулярна основанию. Прямая $AD$ перпендикулярна плоскости $(ABB_1A_1)$, поскольку она перпендикулярна двум пересекающимся прямым в этой плоскости ($AB$ и $AA_1$). Следовательно, $AD$ перпендикулярна любой прямой, лежащей в плоскости $(ABB_1A_1)$, в том числе и диагонали $AB_1$. Таким образом, в плоскости сечения $(AB_1C_1D)$ прямая $AB_1$ перпендикулярна $AD$.

Следовательно, линейным углом двугранного угла между плоскостью сечения и плоскостью основания является угол между прямыми $AB$ и $AB_1$, то есть $\angle B_1AB$. По условию, $\angle B_1AB = \beta$.

Рассмотрим треугольник $\triangle ABB_1$. Так как боковое ребро $BB_1$ перпендикулярно плоскости основания, оно перпендикулярно и прямой $AB$, лежащей в этой плоскости. Значит, $\angle ABB_1 = 90^\circ$, и треугольник $\triangle ABB_1$ — прямоугольный.

В этом прямоугольном треугольнике мы можем выразить тангенс угла $\beta$:

$\tan(\angle B_1AB) = \frac{BB_1}{AB}$

Высота параллелепипеда $h = BB_1$. Подставляя известные значения $AB = a \tan(\alpha)$ и $\angle B_1AB = \beta$, получаем:

$\tan(\beta) = \frac{h}{a \tan(\alpha)}$

Отсюда выражаем высоту $h$:

$h = a \tan(\alpha) \tan(\beta)$

3. Вычисление объёма параллелепипеда

Теперь, зная все три измерения параллелепипеда, мы можем вычислить его объём:

$V = AD \cdot AB \cdot h$

$V = a \cdot (a \tan(\alpha)) \cdot (a \tan(\alpha) \tan(\beta))$

$V = a^3 \tan^2(\alpha) \tan(\beta)$

Ответ: $V = a^3 \tan^2(\alpha) \tan(\beta)$