Номер 68, страница 164 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 68, страница 164.

Условие.

21.68. Основанием пирамиды является треугольник со сторонами 25 см, 29 см и 36 см, а вершина пирамиды удалена от каждой стороны основания на 10 см. Найдите площадь большого круга шара, вписанного в данную пирамиду.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть стороны треугольника в основании пирамиды равны $a = 25$ см, $b = 29$ см и $c = 36$ см. Условие, что вершина пирамиды удалена от каждой стороны основания на одно и то же расстояние, означает, что высота пирамиды проецируется в центр вписанной в основание окружности (инцентр). Расстояние от вершины до сторон основания является апофемой (высотой боковой грани) пирамиды, и оно равно $h_s = 10$ см.

Для нахождения радиуса вписанного шара нам понадобятся высота пирамиды и радиус вписанной в основание окружности.

1. Нахождение радиуса вписанной в основание окружности
Сначала вычислим площадь треугольника в основании, используя формулу Герона. Для этого найдем полупериметр $p$:
$p = \frac{a+b+c}{2} = \frac{25+29+36}{2} = \frac{90}{2} = 45$ см.
Площадь основания $S_{осн}$ равна:
$S_{осн} = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)} = \sqrt{45(45-25)(45-29)(45-36)}$
$S_{осн} = \sqrt{45 \cdot 20 \cdot 16 \cdot 9} = \sqrt{(9 \cdot 5) \cdot (4 \cdot 5) \cdot 16 \cdot 9} = \sqrt{9^2 \cdot 5^2 \cdot 4 \cdot 16} = 9 \cdot 5 \cdot 2 \cdot 4 = 360$ см².
Радиус $r$ вписанной в основание окружности найдем по формуле $S_{осн} = p \cdot r$:
$r = \frac{S_{осн}}{p} = \frac{360}{45} = 8$ см.

2. Нахождение высоты пирамиды
Высота пирамиды $H$, радиус вписанной окружности $r$ и апофема $h_s$ образуют прямоугольный треугольник, в котором $h_s$ — гипотенуза, а $H$ и $r$ — катеты. По теореме Пифагора:
$H^2 + r^2 = h_s^2$
$H^2 + 8^2 = 10^2$
$H^2 + 64 = 100$
$H^2 = 36$
$H = 6$ см.

3. Нахождение радиуса вписанного шара
Центр шара, вписанного в такую пирамиду, лежит на ее высоте. Рассмотрим сечение пирамиды плоскостью, проходящей через высоту $H$ и апофему $h_s$. В сечении получим прямоугольный треугольник с катетами $H=6$ и $r=8$ и гипотенузой $h_s=10$. Вписанная в этот треугольник окружность является большим кругом вписанного в пирамиду шара. Радиус $R$ этого шара можно найти из подобия треугольников.
Обозначим треугольник сечения $SOM$, где $S$ — вершина пирамиды, $O$ — центр вписанной окружности (основание высоты), $M$ — точка на стороне основания. $SO=H$, $OM=r$, $SM=h_s$. Центр вписанного шара $O'$ лежит на высоте $SO$. Расстояние от $O'$ до основания $OM$ равно $R$, и расстояние от $O'$ до боковой грани (гипотенузы $SM$) также равно $R$.
Из подобия треугольников следует соотношение:
$\frac{R}{H-R} = \frac{r}{h_s}$
Подставляем известные значения:
$\frac{R}{6-R} = \frac{8}{10} = \frac{4}{5}$
$5R = 4(6-R)$
$5R = 24 - 4R$
$9R = 24$
$R = \frac{24}{9} = \frac{8}{3}$ см.

4. Нахождение площади большого круга шара
Большой круг шара — это круг, радиус которого равен радиусу шара. Площадь большого круга $S_{кр}$ вычисляется по формуле:
$S_{кр} = \pi R^2$
$S_{кр} = \pi \left(\frac{8}{3}\right)^2 = \pi \frac{64}{9} = \frac{64\pi}{9}$ см².

Ответ: $\frac{64\pi}{9}$ см².