Номер 70, страница 165 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 70, страница 165.

Условие.

21.70. Угол между образующей конуса и плоскостью его основания равен $\alpha$, высота конуса равна $H$. Найдите радиус сферы, описанной около данного конуса.

Решение 1.

Решение 3.

Рассмотрим осевое сечение конуса и описанной около него сферы. Сечение конуса представляет собой равнобедренный треугольник, а сечение сферы — большую окружность, которая описана около этого треугольника. Таким образом, задача сводится к нахождению радиуса $R$ окружности, описанной около равнобедренного треугольника.

Параметры этого равнобедренного треугольника: высота, опущенная на основание, равна высоте конуса $H$, а угол при основании равен $α$. Боковые стороны треугольника являются образующими конуса. Обозначим длину образующей как $L$.

В осевом сечении высота конуса $H$, радиус его основания $r$ и образующая $L$ образуют прямоугольный треугольник. Угол между образующей $L$ (гипотенузой) и радиусом основания $r$ (катетом) по условию равен $α$. Высота $H$ является катетом, противолежащим углу $α$. Из определения синуса в этом прямоугольном треугольнике имеем:$\sin{\alpha} = \frac{H}{L}$

Отсюда мы можем выразить длину образующей $L$:$L = \frac{H}{\sin{\alpha}}$

Теперь вернемся к равнобедренному треугольнику (осевому сечению конуса). Мы знаем его боковую сторону $L$ и угол при основании $α$. Для нахождения радиуса $R$ описанной окружности воспользуемся следствием из теоремы синусов, согласно которому отношение стороны треугольника к синусу противолежащего угла равно удвоенному радиусу описанной окружности ($2R$).

Применим это следствие к боковой стороне $L$ и противолежащему ей углу $α$:$2R = \frac{L}{\sin{\alpha}}$

Подставим в это равенство найденное ранее выражение для $L$:$2R = \frac{\frac{H}{\sin{\alpha}}}{\sin{\alpha}} = \frac{H}{\sin^2{\alpha}}$

Разделив обе части на 2, получим искомый радиус сферы $R$:$R = \frac{H}{2\sin^2{\alpha}}$

Ответ: $R = \frac{H}{2\sin^2{\alpha}}$.