Номер 76, страница 165 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 76, страница 165.

Условие.

21.76. Найдите объём куба, диагональ которого равна $d$.

Решение 1.

Решение 3.

21.76.

Для нахождения объёма куба необходимо сначала выразить длину его ребра через диагональ.

Пусть $a$ — длина ребра куба, а $d$ — длина его диагонали. Объём куба $V$ вычисляется по формуле $V = a^3$.

Связь между диагональю куба и его ребром можно найти, дважды применив теорему Пифагора.Сначала найдём диагональ $d_{г}$ одной из граней куба. Грань является квадратом со стороной $a$. Диагональ грани является гипотенузой прямоугольного треугольника с катетами, равными $a$.

$d_{г}^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$

Далее, диагональ куба $d$ является гипотенузой другого прямоугольного треугольника, катетами которого являются ребро куба $a$ и диагональ грани $d_{г}$.

$d^2 = a^2 + d_{г}^2$

Подставим в это уравнение выражение для $d_{г}^2$:

$d^2 = a^2 + 2a^2 = 3a^2$

Из этого соотношения выразим длину ребра $a$ через диагональ $d$:

$a^2 = \frac{d^2}{3}$

$a = \sqrt{\frac{d^2}{3}} = \frac{d}{\sqrt{3}}$

Теперь, зная длину ребра, можем найти объём куба $V$:

$V = a^3 = \left(\frac{d}{\sqrt{3}}\right)^3 = \frac{d^3}{(\sqrt{3})^3} = \frac{d^3}{3\sqrt{3}}$

Чтобы избавиться от иррациональности в знаменателе, умножим числитель и знаменатель на $\sqrt{3}$:

$V = \frac{d^3 \cdot \sqrt{3}}{3\sqrt{3} \cdot \sqrt{3}} = \frac{d^3\sqrt{3}}{3 \cdot 3} = \frac{d^3\sqrt{3}}{9}$

Ответ: $V = \frac{d^3\sqrt{3}}{9}$