Номер 37, страница 162 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 37, страница 162.

Условие.

21.37. Основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник с гипотенузой $c$ и острым углом $\alpha$. Диагональ боковой грани, содержащей катет основания, противолежащий углу $\alpha$, наклонена к плоскости основания под углом $\beta$. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, описанного около данной призмы.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть основанием прямой призмы является прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Гипотенуза $AB = c$, а острый угол, например, $\angle A = \alpha$.

1. Найдем катеты основания.
Из прямоугольного треугольника $ABC$:
Катет $BC$, противолежащий углу $\alpha$, равен: $a = c \cdot \sin(\alpha)$.
Катет $AC$, прилежащий к углу $\alpha$, равен: $b = c \cdot \cos(\alpha)$.

2. Найдем высоту призмы.
Пусть высота призмы равна $H$. Так как призма прямая, ее боковые ребра перпендикулярны основанию, и их длина равна высоте $H$.
Рассмотрим боковую грань, содержащую катет $BC$, противолежащий углу $\alpha$. Эта грань является прямоугольником со сторонами $BC=a$ и высотой $H$.
Диагональ этой грани, пусть это будет $B_1C$, наклонена к плоскости основания под углом $\beta$. Угол наклона прямой к плоскости - это угол между этой прямой и ее проекцией на плоскость. Проекцией диагонали $B_1C$ на плоскость основания является катет $BC$. Следовательно, угол между диагональю $B_1C$ и катетом $BC$ равен $\beta$, то есть $\angle B_1CB = \beta$.
Рассмотрим прямоугольный треугольник $B_1BC$ (угол $\angle B_1BC = 90^\circ$, так как призма прямая). В этом треугольнике:
$BB_1 = H$ (катет, противолежащий углу $\beta$).
$BC = a$ (катет, прилежащий к углу $\beta$).
Из определения тангенса угла:$\tan(\beta) = \frac{BB_1}{BC} = \frac{H}{a}$
Отсюда выразим высоту призмы $H$:$H = a \cdot \tan(\beta)$
Подставим ранее найденное значение для катета $a$:$H = c \cdot \sin(\alpha) \cdot \tan(\beta)$

3. Найдем параметры описанного цилиндра.
Цилиндр описан около призмы. Это означает, что основания призмы вписаны в основания цилиндра. Следовательно, основание цилиндра — это окружность, описанная около прямоугольного треугольника $ABC$.
Радиус $R$ окружности, описанной около прямоугольного треугольника, равен половине его гипотенузы.
$R = \frac{c}{2}$
Высота цилиндра $H_{цил}$ равна высоте призмы $H$.
$H_{цил} = H = c \cdot \sin(\alpha) \cdot \tan(\beta)$

4. Найдем площадь боковой поверхности цилиндра.
Площадь боковой поверхности цилиндра вычисляется по формуле:$S_{бок} = 2\pi R H_{цил}$
Подставим найденные значения $R$ и $H_{цил}$ в формулу:$S_{бок} = 2\pi \cdot \left(\frac{c}{2}\right) \cdot (c \cdot \sin(\alpha) \cdot \tan(\beta))$
$S_{бок} = \pi c \cdot c \cdot \sin(\alpha) \cdot \tan(\beta)$
$S_{бок} = \pi c^2 \sin(\alpha) \tan(\beta)$

Ответ: $\pi c^2 \sin(\alpha) \tan(\beta)$