Номер 35, страница 162 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 35, страница 162.

Условие.

21.35. Через образующую цилиндра проведены два сечения, каждое из которых параллельно оси цилиндра и плоскости которых перпендикулярны. Найдите площадь осевого сечения цилиндра, если площадь одного из данных сечений равна $30 \text{ см}^2$, а другого – $40 \text{ см}^2$.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть высота цилиндра равна $H$, а радиус его основания — $R$.Сечения, о которых идет речь в задаче, являются прямоугольниками, так как они параллельны оси цилиндра. Одна сторона каждого такого прямоугольника — это общая образующая, ее длина равна высоте цилиндра $H$. Другие стороны — это хорды $a$ и $b$ в основании цилиндра.

Площади этих сечений равны $S_1 = 30 \text{ см}^2$ и $S_2 = 40 \text{ см}^2$. Мы можем записать:
$S_1 = a \cdot H = 30$
$S_2 = b \cdot H = 40$

Отсюда выразим длины хорд $a$ и $b$:
$a = \frac{30}{H}$
$b = \frac{40}{H}$

По условию, плоскости сечений перпендикулярны. Так как они проходят через общую образующую, то и хорды $a$ и $b$ в основании перпендикулярны друг другу. Поскольку они исходят из одной точки на окружности основания, они образуют прямой угол.

Таким образом, хорды $a$ и $b$ являются катетами прямоугольного треугольника, вписанного в окружность основания. Гипотенуза этого треугольника является диаметром $D$ окружности основания ($D = 2R$). По теореме Пифагора:
$a^2 + b^2 = D^2$

Подставим в это равенство выражения для $a$ и $b$:
$(\frac{30}{H})^2 + (\frac{40}{H})^2 = D^2$
$\frac{900}{H^2} + \frac{1600}{H^2} = D^2$
$\frac{2500}{H^2} = D^2$

Домножив обе части на $H^2$, получим:
$2500 = D^2 \cdot H^2$
$2500 = (D \cdot H)^2$

Площадь осевого сечения цилиндра ($S_{ос}$) — это площадь прямоугольника со сторонами, равными диаметру основания $D$ и высоте цилиндра $H$. То есть, $S_{ос} = D \cdot H$.Из предыдущего шага мы можем найти значение $D \cdot H$:
$S_{ос} = D \cdot H = \sqrt{2500} = 50 \text{ см}^2$.

Ответ: $50 \text{ см}^2$.