Номер 22, страница 161 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 22, страница 161.

Условие.

21.22. Найдите угол между вектором $\vec{b}$ $(6; -2; -3)$ и отрицательным направлением оси аппликат.

Решение 1.

Решение 3.

Для нахождения угла между вектором и направлением оси используется формула косинуса угла между двумя векторами.

Заданный вектор: $\vec{b} = (6; -2; -3)$.

Отрицательное направление оси аппликат (оси $Oz$) можно задать с помощью вектора, направленного в противоположную сторону от орта $\vec{k}=(0; 0; 1)$. Возьмем в качестве такого вектора $\vec{c} = (0; 0; -1)$.

Угол $\gamma$ между вектором $\vec{b}$ и отрицательным направлением оси аппликат будет равен углу между векторами $\vec{b}$ и $\vec{c}$. Косинус этого угла находится по формуле:$\cos(\gamma) = \frac{\vec{b} \cdot \vec{c}}{|\vec{b}| \cdot |\vec{c}|}$

Вычислим необходимые значения:

1. Скалярное произведение векторов $\vec{b}$ и $\vec{c}$:$\vec{b} \cdot \vec{c} = (6 \cdot 0) + (-2 \cdot 0) + (-3 \cdot -1) = 0 + 0 + 3 = 3$.

2. Длина (модуль) вектора $\vec{b}$:$|\vec{b}| = \sqrt{6^2 + (-2)^2 + (-3)^2} = \sqrt{36 + 4 + 9} = \sqrt{49} = 7$.

3. Длина (модуль) вектора $\vec{c}$:$|\vec{c}| = \sqrt{0^2 + 0^2 + (-1)^2} = \sqrt{1} = 1$.

Теперь подставим найденные значения в формулу для косинуса угла:$\cos(\gamma) = \frac{3}{7 \cdot 1} = \frac{3}{7}$.

Следовательно, искомый угол $\gamma$ равен арккосинусу этого значения:$\gamma = \arccos\left(\frac{3}{7}\right)$.

Ответ: $\arccos\left(\frac{3}{7}\right)$.