Номер 92, страница 166 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 92, страница 166.

Условие.

21.92. Параллельно оси цилиндра проведено сечение, отсекающее от окружности основания дугу, градусная мера которой равна $ \alpha $, $0^\circ < \alpha < 180^\circ$. Найдите объём цилиндра, если радиус его основания равен $R$, а данное сечение является квадратом.

Решение 1.

Решение 3.

Объём цилиндра вычисляется по формуле $V = S_{осн} \cdot H$, где $S_{осн}$ — площадь основания, а $H$ — высота цилиндра. Основанием цилиндра является круг радиуса $R$, поэтому его площадь равна $S_{осн} = \pi R^2$. Таким образом, для нахождения объёма $V = \pi R^2 H$ необходимо определить высоту цилиндра $H$.

Сечение, проведённое параллельно оси цилиндра, представляет собой прямоугольник. Одна сторона этого прямоугольника — высота цилиндра $H$, а другая — хорда $a$ в окружности основания. По условию задачи, это сечение является квадратом, следовательно, его стороны равны: $H = a$.

Хорда $a$ отсекает от окружности основания дугу с градусной мерой $\alpha$. Рассмотрим треугольник, образованный этой хордой и двумя радиусами, проведёнными из центра окружности к концам хорды. Этот треугольник является равнобедренным с боковыми сторонами, равными радиусу $R$, и углом между ними, равным центральному углу $\alpha$.

Длину хорды $a$ можно найти, опустив высоту из центра окружности на хорду. Эта высота разделит равнобедренный треугольник на два равных прямоугольных треугольника с гипотенузой $R$, одним из катетов равным $\frac{a}{2}$, и противолежащим этому катету углом, равным $\frac{\alpha}{2}$. Из соотношения в прямоугольном треугольнике имеем:

$\sin\left(\frac{\alpha}{2}\right) = \frac{a/2}{R}$

Отсюда выразим длину хорды $a$:

$a = 2R \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Так как высота цилиндра $H$ равна длине хорды $a$, то:

$H = 2R \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Теперь подставляем найденное выражение для высоты $H$ в формулу объёма цилиндра:

$V = \pi R^2 H = \pi R^2 \left(2R \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)\right) = 2\pi R^3 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$

Ответ: $2\pi R^3 \sin\left(\frac{\alpha}{2}\right)$