Номер 93, страница 167 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 21. Упражнения для повторения курса геометрии 11 класса. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 93, страница 167.

Условие.

21.93. Развёрткой боковой поверхности конуса является сектор, градусная мера дуги которого равна $120^\circ$. Найдите объём конуса, если его высота равна 6 см.

Решение 1.

Решение 3.

Обозначим образующую конуса как $L$, радиус основания как $r$ и высоту как $h$. По условию, высота конуса $h = 6$ см.

Развёрткой боковой поверхности конуса является сектор. Радиус этого сектора равен образующей конуса $L$, а длина дуги сектора равна длине окружности основания конуса.

Длина окружности основания конуса вычисляется по формуле $C_{осн} = 2\pi r$.

Длина дуги сектора с центральным углом $\alpha = 120^{\circ}$ и радиусом $L$ вычисляется по формуле $C_{дуги} = \frac{2\pi L \alpha}{360^{\circ}}$.

Так как $C_{осн} = C_{дуги}$, мы можем приравнять эти два выражения:

$2\pi r = \frac{2\pi L \cdot 120^{\circ}}{360^{\circ}}$

Разделим обе части на $2\pi$ и упростим дробь:

$r = L \cdot \frac{120}{360}$

$r = L \cdot \frac{1}{3}$

Отсюда получаем соотношение между образующей и радиусом: $L = 3r$.

Высота конуса, его радиус и образующая связаны теоремой Пифагора, так как они образуют прямоугольный треугольник, где образующая $L$ является гипотенузой:

$L^2 = r^2 + h^2$

Подставим в это уравнение $L = 3r$ и $h = 6$:

$(3r)^2 = r^2 + 6^2$

$9r^2 = r^2 + 36$

$9r^2 - r^2 = 36$

$8r^2 = 36$

$r^2 = \frac{36}{8} = \frac{9}{2}$

Теперь мы можем найти объём конуса, используя формулу $V = \frac{1}{3}\pi r^2 h$:

$V = \frac{1}{3}\pi \cdot \left(\frac{9}{2}\right) \cdot 6$

$V = \frac{1 \cdot \pi \cdot 9 \cdot 6}{3 \cdot 2} = \frac{54\pi}{6} = 9\pi$

Таким образом, объём конуса составляет $9\pi$ см³.

Ответ: $9\pi$ см³.