Номер 11, страница 168 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 11, страница 168.

Условие.

22.11. В треугольнике $ABC$ известно, что $\angle C=90^\circ$, $\angle B=30^\circ$. Серединный перпендикуляр отрезка $AB$ пересекает его в точке $M$, а сторону $BC$ – в точке $K$. Докажите, что $MK = \frac{1}{3}BC$.

Решение 1.

Решение 3.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABC$, в котором $∠C = 90°$ и $∠B = 30°$. Сумма углов треугольника равна $180°$, следовательно, угол $A$ равен:

$∠A = 180° - ∠C - ∠B = 180° - 90° - 30° = 60°$.

По условию, $MK$ — серединный перпендикуляр к отрезку $AB$. Это означает, что точка $M$ является серединой отрезка $AB$, а прямая $MK$ перпендикулярна $AB$.

По свойству серединного перпендикуляра, любая точка на нем равноудалена от концов отрезка. Точка $K$ лежит на серединном перпендикуляре к $AB$, поэтому расстояние от $K$ до $A$ равно расстоянию от $K$ до $B$:

$AK = BK$.

Рассмотрим треугольник $AKB$. Поскольку $AK = BK$, этот треугольник является равнобедренным с основанием $AB$. В равнобедренном треугольнике углы при основании равны, значит:

$∠KAB = ∠KBA = ∠B = 30°$.

Теперь найдем угол $CAK$. Он является частью угла $A$:

$∠CAK = ∠CAB - ∠KAB = 60° - 30° = 30°$.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $AKC$ (так как $∠C = 90°$). В этом треугольнике мы нашли, что $∠CAK = 30°$. Катет, лежащий напротив угла в $30°$, равен половине гипотенузы. Следовательно:

$CK = \frac{1}{2}AK$.

Так как мы установили, что $AK = BK$, мы можем заменить $AK$ на $BK$ в последнем равенстве:

$CK = \frac{1}{2}BK$.

Сторона $BC$ состоит из двух отрезков: $BK$ и $CK$.

$BC = BK + CK$.

Подставим в это равенство выражение для $CK$:

$BC = BK + \frac{1}{2}BK = \frac{3}{2}BK$.

Отсюда можно выразить длину $BK$ через $BC$:

$BK = \frac{2}{3}BC$.

Теперь вернемся к серединному перпендикуляру $MK$. Он перпендикулярен $AB$, поэтому треугольник $BMK$ является прямоугольным ($∠BMK = 90°$). В этом треугольнике известен угол $∠B = 30°$. Катет $MK$ лежит напротив угла в $30°$, значит, он равен половине гипотенузы $BK$:

$MK = \frac{1}{2}BK$.

Наконец, подставим в это равенство найденное ранее выражение для $BK$:

$MK = \frac{1}{2} \cdot (\frac{2}{3}BC) = \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 3}BC = \frac{1}{3}BC$.

Таким образом, доказано, что $MK = \frac{1}{3}BC$.

Ответ: Утверждение доказано.