Номер 8, страница 168 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 8, страница 168.

Условие.

22.8. Высота прямоугольного треугольника с острым углом $\alpha$, проведённая к гипотенузе, равна $h$. Найдите гипотенузу этого треугольника.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть дан прямоугольный треугольник $ABC$ с прямым углом $C$. Пусть $CD$ — высота, проведённая к гипотенузе $AB$. По условию, один из острых углов равен $\alpha$, а длина высоты $CD$ равна $h$. Нам нужно найти длину гипотенузы $AB$.

Примем, что $\angle A = \alpha$. Так как сумма углов в треугольнике равна $180^\circ$, то второй острый угол $\angle B = 180^\circ - 90^\circ - \alpha = 90^\circ - \alpha$.

Высота $CD$ делит гипотенузу $AB$ на два отрезка: $AD$ и $DB$. Таким образом, $AB = AD + DB$. Найдём длины этих отрезков.

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ADC$ (угол $D$ прямой). В нём мы знаем катет $CD = h$ и угол $\angle A = \alpha$. Мы можем выразить второй катет $AD$ через тангенс угла $A$:
$\tan(\angle A) = \frac{CD}{AD}$
$\tan(\alpha) = \frac{h}{AD}$
Отсюда, $AD = \frac{h}{\tan(\alpha)} = h \cot(\alpha)$.

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник $BDC$ (угол $D$ прямой). Найдём один из его острых углов. Угол $\angle BCD$ можно найти, зная, что в треугольнике $ABC$ угол $C$ прямой:
В треугольнике $ACD$ угол $\angle ACD = 90^\circ - \angle A = 90^\circ - \alpha$.
Тогда $\angle BCD = \angle C - \angle ACD = 90^\circ - (90^\circ - \alpha) = \alpha$.
В треугольнике $BDC$ мы знаем катет $CD = h$ и угол $\angle BCD = \alpha$. Мы можем выразить второй катет $DB$ через тангенс угла $BCD$:
$\tan(\angle BCD) = \frac{DB}{CD}$
$\tan(\alpha) = \frac{DB}{h}$
Отсюда, $DB = h \tan(\alpha)$.

Теперь мы можем найти длину гипотенузы $AB$, сложив длины отрезков $AD$ и $DB$:
$AB = AD + DB = h \cot(\alpha) + h \tan(\alpha) = h(\cot(\alpha) + \tan(\alpha))$.

Это выражение можно упростить, используя определения котангенса и тангенса и тригонометрические тождества:
$AB = h \left( \frac{\cos(\alpha)}{\sin(\alpha)} + \frac{\sin(\alpha)}{\cos(\alpha)} \right) = h \left( \frac{\cos^2(\alpha) + \sin^2(\alpha)}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)} \right)$.
Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2(\alpha) + \cos^2(\alpha) = 1$ и формулу синуса двойного угла $\sin(2\alpha) = 2\sin(\alpha)\cos(\alpha)$, из которой следует $\sin(\alpha)\cos(\alpha) = \frac{1}{2}\sin(2\alpha)$, получаем:
$AB = h \left( \frac{1}{\sin(\alpha)\cos(\alpha)} \right) = h \left( \frac{1}{\frac{1}{2}\sin(2\alpha)} \right) = \frac{2h}{\sin(2\alpha)}$.

Ответ: $\frac{2h}{\sin(2\alpha)}$