Номер 104, страница 175 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 104, страница 175.

Условие.

22.104. К двум окружностям, которые пересекаются в точках $M$ и $K$, проведена общая касательная, $A$ и $B$ – точки касания. Докажите, что $\angle AMB + \angle AKB = 180^\circ$.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть даны две окружности, которые пересекаются в точках M и K. Прямая, касающаяся первой окружности в точке A и второй в точке B, является их общей касательной.

Доказательство основано на теореме об угле между касательной и хордой. Согласно этой теореме, угол между касательной и хордой, проведенной через точку касания, равен вписанному углу, который опирается на дугу, заключенную между ними.

1. Рассмотрим первую окружность, проходящую через точки A, M, K. Прямая AB является касательной к ней в точке A. AM — хорда этой окружности. По теореме об угле между касательной и хордой, угол $\angle MAB$ равен вписанному углу $\angle AKM$.
Таким образом, $\angle MAB = \angle AKM$.

2. Рассмотрим вторую окружность, проходящую через точки B, M, K. Прямая AB является касательной к ней в точке B. BM — хорда этой окружности. По той же теореме, угол $\angle MBA$ равен вписанному углу $\angle BKM$.
Таким образом, $\angle MBA = \angle BKM$.

3. Теперь рассмотрим треугольник $\triangle AMB$. Сумма его внутренних углов равна $180^\circ$:
$\angle AMB + \angle MAB + \angle MBA = 180^\circ$.

4. Подставим в это равенство выражения для углов $\angle MAB$ и $\angle MBA$, полученные в пунктах 1 и 2:
$\angle AMB + \angle AKM + \angle BKM = 180^\circ$.

5. Угол $\angle AKB$ состоит из суммы углов $\angle AKM$ и $\angle BKM$, так как луч KM проходит между лучами KA и KB. Следовательно:
$\angle AKB = \angle AKM + \angle BKM$.

6. Подставив это соотношение в уравнение из пункта 4, мы получаем требуемое равенство:
$\angle AMB + \angle AKB = 180^\circ$.

Что и требовалось доказать.

Ответ: Доказано.