Номер 103, страница 175 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 103, страница 175.

Условие.

22.103. Две окружности имеют внешнее касание в точке A, точки B и C – точки касания с этими окружностями их общей касательной. Докажите, что угол $ \angle BAC $ прямой.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть даны две окружности, касающиеся внешним образом в точке $A$. Прямая, касающаяся первой окружности в точке $B$ и второй в точке $C$, является их общей внешней касательной. Требуется доказать, что $∠BAC = 90°$.

Проведем общую внутреннюю касательную к этим окружностям через их точку касания $A$. Пусть эта касательная пересекает общую внешнюю касательную $BC$ в точке $M$.

Рассмотрим отрезки касательных, проведенных из точки $M$ к первой окружности. По свойству касательных, проведенных из одной точки к окружности, их длины равны. Следовательно, $MA = MB$.

Аналогично, рассмотрим отрезки касательных, проведенных из точки $M$ ко второй окружности. По тому же свойству, $MA = MC$.

Из полученных равенств $MA = MB$ и $MA = MC$ следует, что $MA = MB = MC$.

Рассмотрим треугольник $BAC$. Отрезок $AM$ соединяет вершину $A$ с точкой $M$ на противоположной стороне $BC$. Так как $MB = MC$, точка $M$ является серединой стороны $BC$, а отрезок $AM$ — медианой этого треугольника.

Мы установили, что длина медианы $AM$ равна половине длины стороны $BC$, к которой она проведена, так как $BC = MB + MC = MA + MA = 2MA$.

Согласно свойству прямоугольного треугольника, если медиана, проведенная к одной из сторон треугольника, равна половине этой стороны, то угол, противолежащий этой стороне, является прямым. В нашем случае, медиана $AM$ проведена к стороне $BC$, следовательно, угол $BAC$ — прямой.

Таким образом, $∠BAC = 90°$, что и требовалось доказать.

Ответ: Угол $BAC$ является прямым.