Номер 110, страница 176 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 110, страница 176.

Условие.

22.110. Найдите координаты точки, которая принадлежит оси абсцисс и равноудалена от точек $A (-1; 5)$ и $B (7; -3)$.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть искомая точка M имеет координаты $(x; y)$.

Поскольку точка M принадлежит оси абсцисс, ее ордината равна нулю. Таким образом, координаты точки M: $(x; 0)$.

По условию задачи точка M равноудалена от точек A(-1; 5) и B(7; -3). Это означает, что расстояние AM равно расстоянию BM, то есть $AM = BM$. Для удобства вычислений будем использовать квадраты расстояний: $AM^2 = BM^2$.

Формула квадрата расстояния между двумя точками $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ имеет вид: $d^2 = (x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2$.

Найдем квадрат расстояния AM между точками M(x; 0) и A(-1; 5):
$AM^2 = (x - (-1))^2 + (0 - 5)^2 = (x + 1)^2 + (-5)^2 = (x + 1)^2 + 25$.

Найдем квадрат расстояния BM между точками M(x; 0) и B(7; -3):
$BM^2 = (x - 7)^2 + (0 - (-3))^2 = (x - 7)^2 + 3^2 = (x - 7)^2 + 9$.

Приравняем квадраты расстояний $AM^2$ и $BM^2$ и решим полученное уравнение:

$(x + 1)^2 + 25 = (x - 7)^2 + 9$

Раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения:

$(x^2 + 2x + 1) + 25 = (x^2 - 14x + 49) + 9$

$x^2 + 2x + 26 = x^2 - 14x + 58$

Перенесем члены с переменной $x$ в левую часть уравнения, а свободные члены — в правую:

$x^2 - x^2 + 2x + 14x = 58 - 26$

$16x = 32$

$x = \frac{32}{16}$

$x = 2$

Следовательно, абсцисса искомой точки равна 2. Так как точка лежит на оси абсцисс, ее ордината равна 0. Координаты искомой точки: (2; 0).

Ответ: (2; 0).