Номер 115, страница 176 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 115, страница 176.

Условие.

22.115. Составьте уравнение прямой, проходящей через центры окружностей $ (x-1)^2+(y-6)^2=3 $ и $ (x+1)^2+y^2=7 $.

Решение 1.

Решение 3.

Для того чтобы составить уравнение прямой, проходящей через центры двух окружностей, необходимо сначала определить координаты этих центров.

Общее уравнение окружности имеет вид $(x - x_0)^2 + (y - y_0)^2 = r^2$, где $(x_0, y_0)$ — это координаты центра окружности, а $r$ — её радиус.

1. Нахождение центра первой окружности

Уравнение первой окружности дано как $(x - 1)^2 + (y - 6)^2 = 3$.

Сравнивая это уравнение с общим видом, мы можем определить координаты её центра $C_1(x_1, y_1)$:

$x_1 = 1$

$y_1 = 6$

Таким образом, центр первой окружности находится в точке $C_1(1, 6)$.

2. Нахождение центра второй окружности

Уравнение второй окружности дано как $(x + 1)^2 + y^2 = 7$.

Для удобства сравнения перепишем его в стандартном виде: $(x - (-1))^2 + (y - 0)^2 = 7$.

Отсюда находим координаты центра второй окружности $C_2(x_2, y_2)$:

$x_2 = -1$

$y_2 = 0$

Таким образом, центр второй окружности находится в точке $C_2(-1, 0)$.

3. Составление уравнения прямой

Теперь нам нужно найти уравнение прямой, которая проходит через две точки: $C_1(1, 6)$ и $C_2(-1, 0)$.

Уравнение прямой, проходящей через две точки $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$, можно записать в виде:

$\frac{y - y_1}{y_2 - y_1} = \frac{x - x_1}{x_2 - x_1}$

Подставим координаты наших центров в эту формулу:

$\frac{y - 6}{0 - 6} = \frac{x - 1}{-1 - 1}$

Упростим знаменатели:

$\frac{y - 6}{-6} = \frac{x - 1}{-2}$

Теперь решим это уравнение относительно $y$. Умножим обе части на $-6$:

$y - 6 = \frac{-6}{-2}(x - 1)$

$y - 6 = 3(x - 1)$

$y - 6 = 3x - 3$

Перенесем $-6$ в правую часть:

$y = 3x - 3 + 6$

$y = 3x + 3$

Это и есть искомое уравнение прямой в виде с угловым коэффициентом.

Ответ: $y = 3x + 3$.