Номер 120, страница 176 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 120, страница 176.

Условие.

22.120. Докажите, что четырёхугольник $ABCD$ с вершинами в точках $A(2;-2)$, $B(1;2)$, $C(-3;1)$, $D(-2;-3)$ является прямоугольником.

Решение 1.

Решение 3.

Чтобы доказать, что четырёхугольник ABCD является прямоугольником, необходимо показать, что он является параллелограммом, у которого диагонали равны, или что у него все углы прямые. Воспользуемся методом, основанным на вычислении длин сторон и диагоналей.

Координаты вершин четырёхугольника: A(2; -2), B(1; 2), C(-3; 1), D(-2; -3).

1. Вычисление длин сторон

Для нахождения длины отрезка между двумя точками с координатами $(x_1; y_1)$ и $(x_2; y_2)$ используется формула: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$. Для удобства будем вычислять квадраты длин сторон.

• Квадрат длины стороны AB:
  $AB^2 = (1-2)^2 + (2-(-2))^2 = (-1)^2 + (4)^2 = 1 + 16 = 17$.
• Квадрат длины стороны BC:
  $BC^2 = (-3-1)^2 + (1-2)^2 = (-4)^2 + (-1)^2 = 16 + 1 = 17$.
• Квадрат длины стороны CD:
  $CD^2 = (-2-(-3))^2 + (-3-1)^2 = (1)^2 + (-4)^2 = 1 + 16 = 17$.
• Квадрат длины стороны DA:
  $DA^2 = (2-(-2))^2 + (-2-(-3))^2 = (4)^2 + (1)^2 = 16 + 1 = 17$.

Поскольку $AB^2 = CD^2 = 17$ и $BC^2 = DA^2 = 17$, противоположные стороны четырёхугольника попарно равны ($AB = CD$ и $BC = DA$). Следовательно, четырёхугольник ABCD является параллелограммом.

2. Вычисление длин диагоналей

Теперь найдём квадраты длин диагоналей AC и BD.

• Квадрат длины диагонали AC:
  $AC^2 = (-3-2)^2 + (1-(-2))^2 = (-5)^2 + (3)^2 = 25 + 9 = 34$.
• Квадрат длины диагонали BD:
  $BD^2 = (-2-1)^2 + (-3-2)^2 = (-3)^2 + (-5)^2 = 9 + 25 = 34$.

Мы видим, что $AC^2 = BD^2 = 34$, значит, диагонали $AC$ и $BD$ равны.

3. Заключение

Четырёхугольник ABCD является параллелограммом, так как его противоположные стороны равны. По свойству, если диагонали параллелограмма равны, то этот параллелограмм является прямоугольником. Так как $AC = BD$, четырёхугольник ABCD — прямоугольник.

Ответ: Что и требовалось доказать.