Номер 128, страница 177 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 128, страница 177.

Условие.

22.128. На рисунке 22.8 изображён ромб ABCD, в котором $AB = 2 \text{ см}$, $\angle ABC = 120^\circ$. Найдите скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$.

Рис. 22.6

Рис. 22.7

Рис. 22.8

Решение 1.

Решение 3.

Для нахождения скалярного произведения векторов $\vec{AB}$ и $\vec{AC}$ воспользуемся разложением вектора $\vec{AC}$ по правилу треугольника:

$\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{BC}$

Теперь подставим это выражение в искомое скалярное произведение и воспользуемся свойством дистрибутивности:

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = \vec{AB} \cdot (\vec{AB} + \vec{BC}) = \vec{AB} \cdot \vec{AB} + \vec{AB} \cdot \vec{BC}$

Вычислим каждое слагаемое в полученной сумме.

Первое слагаемое является скалярным квадратом вектора $\vec{AB}$, который равен квадрату его длины. По условию, длина стороны ромба $AB = 2$ см, значит $|\vec{AB}| = 2$.

$\vec{AB} \cdot \vec{AB} = |\vec{AB}|^2 = 2^2 = 4$.

Второе слагаемое — это скалярное произведение векторов $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$. По определению:

$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = |\vec{AB}| \cdot |\vec{BC}| \cdot \cos\alpha$, где $\alpha$ — это угол между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$.

Так как $ABCD$ — ромб, все его стороны равны, поэтому $|\vec{BC}| = |\vec{AB}| = 2$ см.

Для нахождения угла $\alpha$ между векторами $\vec{AB}$ и $\vec{BC}$ рассмотрим векторы, выходящие из одной точки B: $\vec{BA}$ и $\vec{BC}$. Угол между ними равен углу ромба $\angle ABC = 120°$. Вектор $\vec{AB}$ является противоположным вектору $\vec{BA}$ (т.е. $\vec{AB} = -\vec{BA}$). Тогда:

$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = (-\vec{BA}) \cdot \vec{BC} = -(\vec{BA} \cdot \vec{BC}) = -(|\vec{BA}| \cdot |\vec{BC}| \cdot \cos(\angle ABC))$.

Подставляем известные значения:

$\vec{AB} \cdot \vec{BC} = -(2 \cdot 2 \cdot \cos(120°)) = -(4 \cdot (-\frac{1}{2})) = -(-2) = 2$.

Теперь сложим полученные значения, чтобы найти искомое скалярное произведение:

$\vec{AB} \cdot \vec{AC} = 4 + 2 = 6$.

Ответ: 6