Номер 130, страница 177 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 130, страница 177.

Условие.

22.1.30. Найдите угол между векторами $\vec{a}(-1; -1)$ и $\vec{b}(2, 0)$.

Решение 1.

Решение 3.

Угол $\alpha$ между двумя векторами $\vec{a}(x_1; y_1)$ и $\vec{b}(x_2; y_2)$ можно найти, используя формулу скалярного произведения векторов:

$\cos(\alpha) = \frac{\vec{a} \cdot \vec{b}}{|\vec{a}| \cdot |\vec{b}|}$

где $\vec{a} \cdot \vec{b}$ – скалярное произведение векторов, а $|\vec{a}|$ и $|\vec{b}|$ – их длины (модули).

Для заданных векторов $\vec{a}(-1; -1)$ и $\vec{b}(2; 0)$ выполним следующие шаги:

1. Вычислим скалярное произведение векторов.

Скалярное произведение находится по формуле $\vec{a} \cdot \vec{b} = x_1x_2 + y_1y_2$.

$\vec{a} \cdot \vec{b} = (-1) \cdot 2 + (-1) \cdot 0 = -2 + 0 = -2$.

2. Вычислим длины (модули) каждого вектора.

Длина вектора $\vec{v}(x; y)$ вычисляется по формуле $|\vec{v}| = \sqrt{x^2 + y^2}$.

$|\vec{a}| = \sqrt{(-1)^2 + (-1)^2} = \sqrt{1 + 1} = \sqrt{2}$.

$|\vec{b}| = \sqrt{2^2 + 0^2} = \sqrt{4 + 0} = \sqrt{4} = 2$.

3. Подставим полученные значения в формулу для косинуса угла.

$\cos(\alpha) = \frac{-2}{\sqrt{2} \cdot 2} = \frac{-1}{\sqrt{2}}$.

Для удобства можно домножить числитель и знаменатель на $\sqrt{2}$:

$\cos(\alpha) = -\frac{1 \cdot \sqrt{2}}{\sqrt{2} \cdot \sqrt{2}} = -\frac{\sqrt{2}}{2}$.

4. Найдем сам угол $\alpha$.

Угол, косинус которого равен $-\frac{\sqrt{2}}{2}$, это $135^\circ$ или $\frac{3\pi}{4}$ радиан.

$\alpha = \arccos(-\frac{\sqrt{2}}{2}) = 135^\circ$.

Ответ: $135^\circ$.