Номер 146, страница 179 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 146, страница 179.

Условие.

22.146. Точка $O$ – центр правильного восьмиугольника, изображённого на рисунке 22.12. Укажите образ стороны $A_3A_4$ при повороте вокруг точки $O$ против часовой стрелки на угол $135^\circ$.

Рис. 22.12

Решение 1.

Решение 3.

По условию, $A_1A_2...A_8$ – правильный восьмиугольник с центром в точке $O$. Необходимо найти, в какую сторону перейдет сторона $A_3A_4$ при повороте вокруг точки $O$ против часовой стрелки на угол $135°$.

Поскольку восьмиугольник правильный, все его вершины расположены на окружности с центром $O$ на равном угловом расстоянии друг от друга. Полный угол в $360°$ разделен на 8 равных секторов. Следовательно, центральный угол, опирающийся на одну сторону восьмиугольника (например, угол $\angle A_1OA_2$), равен:

$\frac{360°}{8} = 45°$

При повороте отрезок переходит в равный ему отрезок. Чтобы найти образ стороны $A_3A_4$, найдем образы ее концов – вершин $A_3$ и $A_4$.

Угол поворота составляет $135°$. Чтобы определить, на сколько позиций сместится каждая вершина, разделим угол поворота на величину центрального угла между соседними вершинами:

$\frac{135°}{45°} = 3$

Это означает, что каждая вершина сместится на 3 позиции против часовой стрелки.

1. Найдем образ вершины $A_3$. Отсчитываем 3 позиции от $A_3$ против часовой стрелки (в сторону уменьшения индексов): $A_3 \to A_2 \to A_1 \to A_8$. Таким образом, вершина $A_3$ переходит в вершину $A_8$.

2. Найдем образ вершины $A_4$. Отсчитываем 3 позиции от $A_4$ против часовой стрелки: $A_4 \to A_3 \to A_2 \to A_1$. Таким образом, вершина $A_4$ переходит в вершину $A_1$.

Так как образом вершины $A_3$ является вершина $A_8$, а образом вершины $A_4$ является вершина $A_1$, то образом стороны $A_3A_4$ является сторона, соединяющая эти две вершины, то есть $A_8A_1$.

Ответ: $A_8A_1$.