Номер 153, страница 180 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 153, страница 180.

Условие.

22.153. Точки $A$ и $B$ лежат в одной полуплоскости относительно прямой $a$. Найдите на прямой $a$ такую точку $X$, чтобы лучи $XA$ и $XB$ образовывали с этой прямой равные углы.

Решение 1.

Решение 3.

Для решения этой задачи используется метод осевой симметрии. План построения искомой точки $X$ следующий:

1. Построить точку $A'$, симметричную точке $A$ относительно прямой $a$.
2. Провести прямую через точки $A'$ и $B$.
3. Точка пересечения прямой $A'B$ с прямой $a$ и будет искомой точкой $X$.

Доказательство:

Пусть $X$ — точка, построенная по описанному выше алгоритму, то есть $X = A'B \cap a$. Нам нужно доказать, что углы, которые лучи $XA$ и $XB$ образуют с прямой $a$, равны.

Обозначим угол, образованный лучом $XA$ и прямой $a$, как $\angle 1$. Обозначим угол, образованный лучом $XB$ и прямой $a$, как $\angle 2$.

Рассмотрим точку $A'$, симметричную точке $A$ относительно прямой $a$. По определению осевой симметрии:

• Отрезок $AA'$ перпендикулярен прямой $a$.
• Прямая $a$ делит отрезок $AA'$ пополам.

Из этого следует, что для любой точки $X$ на прямой $a$, треугольник $\triangle AXA'$ является равнобедренным с основанием $AA'$, и $AX = A'X$. Углы при основании равнобедренного треугольника равны, но нам удобнее рассмотреть равенство углов, образованных сторонами с прямой $a$. Угол между лучом $XA$ и прямой $a$ равен углу между лучом $XA'$ и прямой $a$. Обозначим этот угол как $\angle 3$. Таким образом, $\angle 1 = \angle 3$.

По нашему построению, точки $A'$, $X$ и $B$ лежат на одной прямой. Следовательно, углы $\angle 3$ и $\angle 2$ являются вертикальными углами при пересечении прямых $A'B$ и $a$.

Вертикальные углы равны, поэтому $\angle 3 = \angle 2$.

Так как $\angle 1 = \angle 3$ и $\angle 3 = \angle 2$, то $\angle 1 = \angle 2$, что и требовалось доказать.

Ответ: Искомая точка $X$ – это точка пересечения прямой $a$ с прямой, проходящей через точку $B$ и точку $A'$, которая симметрична точке $A$ относительно прямой $a$.