Номер 152, страница 180 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 152, страница 180.

Условие.

22.152. Точки $A$ и $B$ лежат в различных полуплоскостях относительно прямой $a$. На прямой $a$ найдите такую точку $X$, чтобы прямая $a$ содержала биссектрису угла $AXB$.

Решение 1.

Решение 3.

Пусть нам даны прямая a и точки A и B, лежащие в разных полуплоскостях относительно a. Искомая точка X на прямой a должна удовлетворять условию, что прямая a является биссектрисой угла AXB. Это означает, что углы, которые образуют лучи XA и XB с прямой a, должны быть равны.

Для нахождения точки X воспользуемся методом осевой симметрии. Решение задачи зависит от того, равны ли расстояния от точек A и B до прямой a. Поэтому рассмотрим два случая.

Случай 1: Расстояния от точек A и B до прямой a различны

В этом случае $d(A, a) \neq d(B, a)$.

Для нахождения точки X выполним следующее построение. Сначала построим точку A', симметричную точке A относительно прямой a. Поскольку точки A и B находятся в разных полуплоскостях, точки A' и B будут лежать в одной полуплоскости. Затем проведем прямую через точки A' и B. Так как расстояния от A' и B до прямой a различны ($d(A', a) = d(A, a) \neq d(B, a)$), прямая A'B не параллельна прямой a и пересекает ее в единственной точке. Эта точка пересечения и есть искомая точка X.

Докажем, что построенная точка X удовлетворяет условию. По свойству осевой симметрии, для любой точки X на прямой a выполняется равенство $XA = XA'$, а также равенство углов, которые отрезки XA и XA' образуют с прямой a: $ \angle(XA, a) = \angle(XA', a) $. По построению, точка X является точкой пересечения прямых a и A'B, следовательно, точки A', X, B лежат на одной прямой. Так как A' и B находятся в одной полуплоскости, а X — на границе, лучи XA' и XB совпадают. Это означает, что они образуют с прямой a равные углы: $ \angle(XA', a) = \angle(XB, a) $. Из двух равенств углов следует, что $ \angle(XA, a) = \angle(XB, a) $, то есть прямая a — биссектриса угла AXB.

Ответ: Если расстояния от A и B до прямой a различны, то искомая точка X является точкой пересечения прямой a и прямой, соединяющей точку B с точкой A' (симметричной A относительно a).

Случай 2: Расстояния от точек A и B до прямой a равны

В этом случае $d(A, a) = d(B, a)$.

Если мы применим построение из первого случая, то окажется, что прямая A'B параллельна прямой a, так как точки A' и B находятся в одной полуплоскости и равноудалены от прямой a. Следовательно, этот метод не дает решения. Используем другой подход. Выполним следующее построение. Опустим перпендикуляры из точек A и B на прямую a и обозначим их основания как $P_A$ и $P_B$. Искомой точкой X будет середина отрезка $P_A P_B$.

Докажем это. Рассмотрим прямоугольные треугольники $\triangle AP_A X$ и $\triangle BP_B X$. В них катеты $AP_A$ и $BP_B$ равны по условию ($d(A, a) = d(B, a)$). Катеты $P_A X$ и $P_B X$ равны по построению, так как X — середина $P_A P_B$. Таким образом, треугольники $\triangle AP_A X$ и $\triangle BP_B X$ равны по двум катетам. Из равенства треугольников следует равенство соответствующих углов: $\angle AXP_A = \angle BXP_B$. Эти углы как раз и являются углами между лучами XA, XB и прямой a. Их равенство означает, что прямая a является биссектрисой угла AXB.

Ответ: Если расстояния от A и B до прямой a равны, то искомая точка X является серединой отрезка, соединяющего основания перпендикуляров, опущенных из A и B на прямую a.