Номер 154, страница 180 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 154, страница 180.

Условие.

22.154. Точки A и B лежат в одной полуплоскости относительно прямой a.
Найдите на прямой a такую точку X, чтобы сумма $AX + XB$ была наименьшей.

Решение 1.

Решение 3.

Для решения этой задачи используется метод осевой симметрии. Пусть нам даны точки $A$ и $B$ в одной полуплоскости относительно прямой $a$. Необходимо найти такую точку $X$ на прямой $a$, чтобы сумма $AX + XB$ была минимальной.

Построим точку $B'$, симметричную точке $B$ относительно прямой $a$. По определению осевой симметрии, прямая $a$ является серединным перпендикуляром к отрезку $BB'$. Это означает, что для любой точки $X$, принадлежащей прямой $a$, расстояние до точки $B$ равно расстоянию до точки $B'$, то есть $XB = XB'$.

Теперь мы можем переписать искомую сумму $AX + XB$ как $AX + XB'$. Нам нужно найти точку $X$ на прямой $a$, которая минимизирует эту новую сумму. Сумма $AX + XB'$ — это длина ломаной линии $AXB'$. Кратчайшее расстояние между двумя точками, $A$ и $B'$, равно длине отрезка $AB'$. Длина ломаной $AXB'$ будет минимальна и равна длине отрезка $AB'$, если точки $A$, $X$ и $B'$ лежат на одной прямой.

Следовательно, искомая точка $X$ — это точка пересечения отрезка, соединяющего точку $A$ и симметричную точку $B'$, с прямой $a$.

Докажем, что это действительно точка минимума. Пусть $X$ — точка пересечения $AB'$ и $a$. Тогда сумма расстояний $S_X = AX + XB = AX + XB' = AB'$. Возьмем любую другую точку $Y$ на прямой $a$. Для нее сумма расстояний $S_Y = AY + YB$. Так как $Y \in a$, то $YB = YB'$. Следовательно, $S_Y = AY + YB'$. В треугольнике $AYB'$ по неравенству треугольника имеем: $AY + YB' \ge AB'$. Равенство достигается только тогда, когда точка $Y$ лежит на отрезке $AB'$, то есть когда $Y=X$. Во всех остальных случаях $AY + YB' > AB'$. Таким образом, $S_Y > S_X$ для любой точки $Y \neq X$ на прямой $a$. Это доказывает, что найденная точка $X$ обеспечивает наименьшую сумму расстояний.

Ответ: Искомая точка $X$ — это точка пересечения прямой $a$ с отрезком $AB'$, где точка $B'$ симметрична точке $B$ относительно прямой $a$.