Номер 155, страница 180 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 155, страница 180.

Условие.

22.155. Вершина $A$ квадрата $ABCD$ является центром поворота на угол $90^{\circ}$. Найдите отрезок $BC_1$, где точка $C_1$ – образ точки $C$ при указанном повороте, если $AB = 1$ см.

Решение 1.

Решение 3.

По условию задачи, нам дан квадрат ABCD со стороной $AB = 1$ см. Вершина A является центром поворота на угол 90°. Точка $C_1$ — это образ точки C при этом повороте. Необходимо найти длину отрезка $BC_1$.

Для решения задачи мы рассмотрим треугольник $ABC_1$ и найдем длину его стороны $BC_1$ с помощью теоремы косинусов: $BC_1^2 = AB^2 + AC_1^2 - 2 \cdot AB \cdot AC_1 \cdot \cos(\angle BAC_1)$.

Найдем все необходимые элементы для этой формулы:

1. Длина стороны AB нам дана по условию: $AB = 1$ см.

2. Длина отрезка $AC_1$. Поворот является изометрией, то есть сохраняет расстояния. Расстояние от центра поворота A до точки C равно расстоянию от A до образа точки $C_1$. Таким образом, $AC_1 = AC$. Длину AC найдем как диагональ квадрата со стороной 1, используя теорему Пифагора для прямоугольного треугольника ABC: $AC = \sqrt{AB^2 + BC^2} = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$ см. Следовательно, $AC_1 = \sqrt{2}$ см.

3. Угол $\angle BAC_1$. Этот угол можно найти, зная углы $\angle BAC$ и $\angle CAC_1$. В квадрате ABCD диагональ AC является биссектрисой угла $\angle DAB$, поэтому $\angle BAC = \frac{1}{2} \angle DAB = \frac{90^\circ}{2} = 45^\circ$. По определению поворота, угол между отрезком, соединяющим центр поворота с точкой (AC), и отрезком, соединяющим центр с образом точки ($AC_1$), равен углу поворота. Значит, $\angle CAC_1 = 90^\circ$. Поскольку направление поворота не указано, по умолчанию принимается поворот против часовой стрелки. В этом случае искомый угол будет равен сумме углов: $\angle BAC_1 = \angle BAC + \angle CAC_1 = 45^\circ + 90^\circ = 135^\circ$.

Теперь, когда у нас есть все данные, подставим их в формулу теоремы косинусов: $BC_1^2 = 1^2 + (\sqrt{2})^2 - 2 \cdot 1 \cdot \sqrt{2} \cdot \cos(135^\circ)$.

Для вычисления используем значение косинуса $135^\circ$: $\cos(135^\circ) = \cos(180^\circ - 45^\circ) = -\cos(45^\circ) = -\frac{\sqrt{2}}{2}$. $BC_1^2 = 1 + 2 - 2\sqrt{2} \left(-\frac{\sqrt{2}}{2}\right) = 3 + \frac{2 \cdot 2}{2} = 3 + 2 = 5$.

Отсюда находим искомую длину отрезка $BC_1$: $BC_1 = \sqrt{5}$ см.

Ответ: $\sqrt{5}$ см.