Номер 149, страница 179 - гдз по геометрии 11 класс учебник Мерзляк, Номировский

Параграф 22. Упражнения для повторения курса планиметрии. Глава 3. Объёмы тел. Площадь сферы - номер 149, страница 179.

Условие.

22.149. Прямоугольник $AMKP$, изображённый на рисунке 22.15, является образом прямоугольника $ABCD$ при повороте против часовой стрелки на угол $90^\circ$. Какая точка является центром поворота?

Рис. 22.15

Решение 1.

Решение 3.

Центром поворота является точка, которая при данном преобразовании остается на месте (переходит сама в себя). Согласно условию, прямоугольник AMKP является образом прямоугольника ABCD. Сравнивая множества вершин этих прямоугольников, $\{A, B, C, D\}$ и $\{A, M, K, P\}$, мы видим, что точка A является общей. Это позволяет предположить, что A — центр поворота.

Проверим это предположение. Поворот выполняется на угол $90^\circ$ против часовой стрелки. Это значит, что для любой точки $X$ ее образ $X'$ должен удовлетворять условиям: расстояние до центра поворота A сохраняется ($|AX| = |AX'|$) и угол $\angle XAX'$, отсчитываемый против часовой стрелки, равен $90^\circ$.

1. Если A — центр поворота, то ее образ — сама точка A. Это согласуется с тем, что A — вершина обоих прямоугольников.

2. Найдем образ точки B при повороте вокруг A на $90^\circ$ против часовой стрелки. Из рисунка видно, что отрезок AB направлен вертикально вверх. При повороте на $90^\circ$ против часовой стрелки он перейдет в горизонтальный отрезок такой же длины, направленный влево. Этому условию соответствует отрезок AM. Следовательно, образом точки B является точка M ($B \to M$).

3. Отрезок AD направлен горизонтально вправо. При повороте на $90^\circ$ против часовой стрелки вокруг A он перейдет в вертикальный отрезок такой же длины, направленный вверх. Этому условию соответствует отрезок AK (где K — вершина прямоугольника AMKP). Следовательно, образом точки D является точка K ($D \to K$).

4. Положение вершины C в прямоугольнике ABCD определяется векторной суммой $\vec{AC} = \vec{AB} + \vec{AD}$. Образом вектора $\vec{AC}$ будет сумма образов векторов-слагаемых. Образом $\vec{AB}$ является $\vec{AM}$, а образом $\vec{AD}$ является $\vec{AK}$. Таким образом, образом точки C будет точка P, для которой $\vec{AP} = \vec{AM} + \vec{AK}$. Эта точка является четвертой вершиной прямоугольника AMKP. Следовательно, образом точки C является точка P ($C \to P$).

Итак, при повороте вокруг точки A на $90^\circ$ против часовой стрелки прямоугольник ABCD отображается на прямоугольник с вершинами A, M, K, P, что совпадает с прямоугольником AMKP из условия. Значит, наше предположение верно.

Ответ: Точка А.