Страница 75, часть 1 - гдз по математике 2 класс учебник часть 1, 2 Моро, Бантова

24. В двух цехах агрокомбината работали 85 человек. После подключения к работе двух роботов–манипуляторов число сотрудников одного цеха уменьшилось на 20 человек, а второго — на 15 человек. Сколько человек работает в этих цехах теперь?

Назови правильный ответ и проверь свой выбор.

Ответы: 1) 65 человек; 2) 70 человек; 3) 50 человек.

Решение задачи

Чтобы найти, сколько человек работает в цехах теперь, необходимо из первоначального общего количества работников вычесть общее количество уволенных сотрудников из обоих цехов.

1. Сначала найдем, на сколько всего уменьшилось число сотрудников. Для этого сложим количество уволенных сотрудников из первого цеха (20 человек) и второго цеха (15 человек):
$20 + 15 = 35$ (человек)

2. Теперь вычтем это общее уменьшение из первоначального количества работников, чтобы узнать, сколько человек осталось работать:
$85 - 35 = 50$ (человек)

Ответ: В цехах теперь работает 50 человек.

Назови правильный ответ

Сравним полученный нами результат с предложенными вариантами ответов: 1) 65 человек; 2) 70 человек; 3) 50 человек.
Наш результат (50 человек) совпадает с вариантом под номером 3).

Ответ: Правильный ответ — 3) 50 человек.

Проверь свой выбор

Для проверки решения выполним вычисления другим способом, вычитая количество уволенных сотрудников последовательно.

1. Изначально было 85 работников. После сокращения в одном цехе на 20 человек их общее число стало:
$85 - 20 = 65$ (человек)

2. Затем из этого нового количества работников уволили еще 15 человек из второго цеха:
$65 - 15 = 50$ (человек)

Результат проверки (50 человек) совпал с первоначальным решением. Следовательно, выбор сделан верно.

Ответ: 50 человек.

25. В теннисной спортивной школе в одной коробке было 46 теннисных мячей, а в другой — 30. Для занятий детям выдали 20 мячей. Сколько мячей осталось в этих двух коробках?

Запиши номера тех выражений, с помощью которых можно ответить на вопрос задачи.

Чтобы найти, сколько мячей осталось в двух коробках, можно рассмотреть несколько логически верных способов вычисления.

Способ 1: Найти общее количество и вычесть выданные

1. Сначала найдем общее количество мячей в двух коробках, сложив их:

$46 + 30 = 76$ (всего мячей)

2. Затем из общего количества вычтем 20 мячей, которые выдали детям для занятий:

$76 - 20 = 56$ (оставшихся мячей)

Этот способ решения соответствует выражению 4) $46 + 30 - 20$.

Способ 2: Вычесть выданные мячи из первой коробки

1. Предположим, что 20 мячей взяли из первой коробки, в которой было 46 мячей. Узнаем, сколько мячей в ней осталось:

$46 - 20 = 26$ (мячей осталось в первой коробке)

2. Теперь к оставшимся в первой коробке мячам прибавим все мячи из второй коробки:

$26 + 30 = 56$ (всего оставшихся мячей)

Этот способ решения соответствует выражению 3) $46 - 20 + 30$.

Способ 3: Вычесть выданные мячи из второй коробки

1. Предположим, что 20 мячей взяли из второй коробки, в которой было 30 мячей. Узнаем, сколько мячей в ней осталось:

$30 - 20 = 10$ (мячей осталось во второй коробке)

2. Теперь к оставшимся во второй коробке мячам прибавим все мячи из первой коробки:

$10 + 46 = 56$ (всего оставшихся мячей)

Этот способ решения соответствует выражению 1) $30 - 20 + 46$.

Все три рассмотренных способа приводят к одному и тому же правильному ответу — 56 мячей. Выражение 2) $30 + 20 - 46$ является неверным, так как его логика не соответствует условию задачи и дает неверный результат $4$.

Таким образом, для решения задачи подходят выражения под номерами 1, 3 и 4.

Ответ: В двух коробках осталось 56 мячей. Номера выражений, с помощью которых можно ответить на вопрос задачи: 1, 3, 4.

26. Сколько осей симметрии у треугольника 1? у треугольника 2?

у треугольника 1?
Ось симметрии — это прямая, которая делит фигуру на две зеркально равные части, то есть при перегибании по этой прямой обе части фигуры полностью совпадут.
Рассмотрим треугольник 1 (зеленого цвета). Он изображен на клетчатой бумаге. Его основание расположено горизонтально и имеет длину 4 клетки. Высота, проведенная из верхней вершины к основанию, перпендикулярна ему, имеет длину 4 клетки и делит основание на два равных отрезка по 2 клетки каждый.
Поскольку высота, проведенная к основанию, является и медианой, то данный треугольник — равнобедренный. Его боковые стороны равны. Мы можем убедиться в этом, вычислив их длину по теореме Пифагора: $a = \sqrt{4^2 + 2^2} = \sqrt{16 + 4} = \sqrt{20}$ клеток.
Равносторонний треугольник имеет 3 оси симметрии. Проверим, является ли наш треугольник равносторонним. Для этого все его стороны должны быть равны. У нас основание равно 4, а боковые стороны равны $\sqrt{20}$. Так как $4 = \sqrt{16}$, а $\sqrt{16} \neq \sqrt{20}$, то треугольник не является равносторонним.
У равнобедренного треугольника, который не является равносторонним, есть только одна ось симметрии. Эта ось совпадает с высотой (а также медианой и биссектрисой), проведенной к основанию. На рисунке эта ось показана пунктирной линией.
Ответ: 1.

у треугольника 2?
Рассмотрим треугольник 2 (желтого цвета). Аналогично первому треугольнику, определим его свойства по клеткам. Основание равно 4 клеткам. Высота, проведенная к основанию, равна 2 клеткам и делит основание пополам.
Следовательно, треугольник 2 также является равнобедренным. Найдем длину его боковой стороны по теореме Пифагора: $b = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 4} = \sqrt{8}$ клеток.
Сравним длины сторон: основание равно 4, боковые стороны равны $\sqrt{8}$. Так как $4 \neq \sqrt{8}$, треугольник не является равносторонним.
Как и любой равнобедренный (но не равносторонний) треугольник, он имеет ровно одну ось симметрии, которая проходит через вершину и середину основания. Эта ось также показана на рисунке пунктирной линией.
Ответ: 1.

27. Катя, Рита и Даша заняли три первых места на конкурсе чтецов. На вопрос, кто какое место занял, руководитель кружка ответил так: «Определите сами, если каждый из моих ответов неверный: Даша — первое, Рита — второе, Катя — первое или третье».

Для решения этой логической задачи необходимо последовательно проанализировать каждое утверждение руководителя, учитывая основное условие: все его ответы неверны.

1. Анализ утверждения «Даша — первое»

Поскольку это утверждение ложно, мы делаем вывод, что Даша не заняла первое место. Таким образом, Даша могла занять либо второе, либо третье место.

Математически: $Место_{Даши} \neq 1$.

2. Анализ утверждения «Рита — второе»

Это утверждение также ложно. Следовательно, Рита не заняла второе место. Ей могло достаться либо первое, либо третье место.

Математически: $Место_{Риты} \neq 2$.

3. Анализ утверждения «Катя — первое или третье»

Это ключевое утверждение. Его ложность означает, что неверно, будто Катя заняла первое место, и неверно, что она заняла третье место. (Отрицанием логического «ИЛИ» является «НЕ ... И НЕ ...»).

Математически: $Место_{Кати} \neq 1$ и $Место_{Кати} \neq 3$.

В соревновании было всего три призовых места. Если Катя не заняла ни первое, ни третье, то методом исключения ей остается только второе место.

4. Итоговое распределение мест

Теперь, зная, что Катя заняла второе место, мы можем однозначно определить места остальных девочек, распределив оставшиеся первое и третье места.

• Мы знаем из пункта 1, что Даша не заняла первое место. Поскольку второе место уже занято Катей, Даше остается только третье место.
• Таким образом, единственное оставшееся место — первое — занимает Рита. Это не противоречит условию из пункта 2 (Рита не на втором месте).

Проверим полученное решение:

• Рита — 1-е место, Катя — 2-е место, Даша — 3-е место.
• Утверждение «Даша — первое» — ложь (Даша на третьем).
• Утверждение «Рита — второе» — ложь (Рита на первом).
• Утверждение «Катя — первое или третье» — ложь (Катя на втором).

Все условия задачи соблюдены.

Ответ: Рита заняла первое место, Катя — второе, Даша — третье.

28. Определи, по какому правилу составлен ряд чисел 12, 2, 13, 3, 14, , , 5, и запиши два пропущенных числа.

Для решения этой задачи необходимо выявить закономерность в представленном числовом ряду. Ряд 12, 2, 13, 3, 14, ?, ?, 5, ... можно рассматривать как две независимые, чередующиеся между собой последовательности.

Последовательность 1 (нечетные места):

Эта последовательность состоит из чисел, стоящих на первом, третьем, пятом, седьмом и т.д. местах:

12, 13, 14, ?, ...

Легко заметить, что каждое следующее число в этой последовательности на единицу больше предыдущего. Это арифметическая прогрессия с разностью $d=1$.

$12 + 1 = 13$

$13 + 1 = 14$

Следуя этому правилу, найдем число, которое должно стоять на седьмом месте в исходном ряду:

$14 + 1 = 15$

Последовательность 2 (четные места):

Эта последовательность состоит из чисел, стоящих на втором, четвертом, шестом, восьмом и т.д. местах:

2, 3, ?, 5, ...

Здесь также каждое следующее число на единицу больше предыдущего. Это тоже арифметическая прогрессия с разностью $d=1$.

$2 + 1 = 3$

Найдем число, которое должно стоять на шестом месте в исходном ряду:

$3 + 1 = 4$

Для проверки найдем следующий член этой последовательности, который должен стоять на восьмом месте: $4 + 1 = 5$. Это совпадает с числом, указанным в задаче.

Таким образом, первое пропущенное число (на шестом месте) — это 4, а второе пропущенное число (на седьмом месте) — это 15.

Ответ: Пропущенные числа — 4 и 15.

29. Рассмотри узор и начерти его в тетради.

Данный узор представляет собой ломаную линию, которая состоит из повторяющихся одинаковых фрагментов. Чтобы начертить такой узор в тетради по клеткам, нужно выполнить действия, которые называют «графический диктант».

Каждый фрагмент узора рисуется по определенному алгоритму. За единицу измерения возьмем одну клетку.

Найдите начальную точку (на рисунке она отмечена звёздочкой) и, начиная с нее, последовательно проведите линии по следующей инструкции:

1. На 3 клетки вверх.
2. На 1 клетку вправо.
3. На 1 клетку вверх.
4. На 2 клетки вправо.
5. На 1 клетку вниз.
6. На 1 клетку вправо.
7. На 3 клетки вниз.
8. На 2 клетки вправо.

После выполнения этих шагов будет нарисован первый фрагмент узора (на рисунке он выполнен сплошной линией). Узор продолжается повторением этой же последовательности шагов от точки, где закончился предыдущий фрагмент. На рисунке второй фрагмент показан пунктирной линией. Таким образом можно продолжать узор и дальше.

Ответ: Для того чтобы начертить узор, необходимо от начальной точки последовательно выполнять следующий алгоритм (графический диктант): 3 клетки вверх, 1 клетка вправо, 1 клетка вверх, 2 клетки вправо, 1 клетка вниз, 1 клетка вправо, 3 клетки вниз, 2 клетки вправо. Этот блок команд повторяется для создания каждого следующего фрагмента узора.

1. Сделай рисунок к задаче и реши её. Купили 5 зелёных мячей, а красных в 3 раза больше. Сколько красных мячей купили?

1.

Рисунок к задаче:

На рисунке показаны 5 зелёных мячей. Красных мячей в 3 раза больше, поэтому мы рисуем 3 ряда по 5 красных мячей в каждом.

Решение:

Согласно условию задачи, было куплено 5 зелёных мячей.

Количество красных мячей было в 3 раза больше, чем зелёных. Выражение "в 3 раза больше" означает, что необходимо использовать операцию умножения.

Чтобы найти, сколько красных мячей купили, нужно количество зелёных мячей умножить на 3:

$5 \times 3 = 15$

Таким образом, было куплено 15 красных мячей.

Ответ: 15 красных мячей.

2. 1) В магазине продали 9 тетрадей по цене 3 р. за каждую. Сколько денег выручили за эти тетради?
2) Составь и реши две задачи, обратные данной.

1) Чтобы найти, сколько денег выручили за проданные тетради, нужно умножить количество тетрадей на цену одной тетради. В задаче дано, что продали 9 тетрадей по цене 3 рубля за каждую.

Выполним умножение:

$9 \times 3 = 27$ (рублей)

Ответ: за эти тетради выручили 27 рублей.

2) Обратная задача — это задача, в которой искомая величина (в нашем случае — общая стоимость) становится известной, а одна из известных величин (цена или количество) становится искомой. На основе найденной общей стоимости в 27 рублей составим две обратные задачи.

Первая обратная задача:

В магазине выручили 27 рублей за продажу тетрадей. Каждая тетрадь стоила 3 рубля. Сколько всего тетрадей продали?

Решение: Чтобы найти количество тетрадей, нужно общую стоимость разделить на цену одной тетради.

$27 \div 3 = 9$ (тетрадей)

Ответ: продали 9 тетрадей.

Вторая обратная задача:

В магазине продали 9 одинаковых тетрадей и выручили за них 27 рублей. Какова цена одной тетради?

Решение: Чтобы найти цену одной тетради, нужно общую стоимость разделить на количество проданных тетрадей.

$27 \div 9 = 3$ (рубля)

Ответ: цена одной тетради 3 рубля.

3. Найди уравнения, которые ты пока не можешь решить. Исправь их и реши.

В этом задании сначала нужно определить, какие из предложенных уравнений не имеют решений в множестве натуральных чисел (тех, которые мы используем при счете) и нуля. Это уравнения, решение которых требует вычитания большего числа из меньшего, что приводит к отрицательным числам.

Уравнения, которые пока нельзя решить: $78 + x = 40$ и $50 - x = 64$.

• В первом уравнении сумма (40) меньше одного из слагаемых (78).
• В третьем уравнении разность (64) больше уменьшаемого (50).

Уравнение $x - 23 = 60$ решается без исправлений. Теперь исправим нерешаемые уравнения так, чтобы их можно было решить, и найдем корни всех трех уравнений.

78 + x = 40

Это уравнение не имеет решения в натуральных числах. Исправим его, поменяв местами слагаемое 78 и сумму 40. Получится уравнение, которое можно решить:

$x + 40 = 78$

Чтобы найти неизвестное слагаемое, нужно из суммы вычесть известное слагаемое:

$x = 78 - 40$

$x = 38$

Проверка: $38 + 40 = 78$. Равенство верное.

Ответ: в исправленном уравнении $x = 38$.

x - 23 = 60

Это уравнение имеет решение в натуральных числах и не требует исправлений.

Чтобы найти неизвестное уменьшаемое, нужно к разности прибавить вычитаемое:

$x = 60 + 23$

$x = 83$

Проверка: $83 - 23 = 60$. Равенство верное.

Ответ: $x = 83$.

50 - x = 64

Это уравнение не имеет решения в натуральных числах. Исправим его, поменяв местами уменьшаемое (50) и разность (64):

$64 - x = 50$

Чтобы найти неизвестное вычитаемое, нужно из уменьшаемого вычесть разность:

$x = 64 - 50$

$x = 14$

Проверка: $64 - 14 = 50$. Равенство верное.

Ответ: в исправленном уравнении $x = 14$.

4. 1) Найди значение выражения 1 · b при b = 4, b = 79, b = 98, b = 100.
2) Найди значение выражения 0 · к при к = 3, к = 81, к = 90, к = 100.

1) Для того чтобы найти значение выражения $1 \cdot b$, необходимо подставить заданные значения переменной $b$ в это выражение. При умножении любого числа на 1, в результате получается то же самое число. Это одно из основных свойств умножения.

• При $b = 4$:

  $1 \cdot 4 = 4$

• При $b = 79$:

  $1 \cdot 79 = 79$

• При $b = 98$:

  $1 \cdot 98 = 98$

• При $b = 100$:

  $1 \cdot 100 = 100$

Ответ: 4, 79, 98, 100.

2) Для того чтобы найти значение выражения $0 \cdot k$, необходимо подставить заданные значения переменной $k$ в это выражение. При умножении любого числа на 0, в результате всегда получается 0. Это также одно из основных свойств умножения.

• При $k = 3$:

  $0 \cdot 3 = 0$

• При $k = 81$:

  $0 \cdot 81 = 0$

• При $k = 90$:

  $0 \cdot 90 = 0$

• При $k = 100$:

  $0 \cdot 100 = 0$

Ответ: 0, 0, 0, 0.

9 · 4
Для решения этого примера необходимо выполнить операцию умножения. Умножим число 9 на 4.
$9 \cdot 4 = 36$
Ответ: 36

8 · 4
Для решения этого примера необходимо выполнить операцию умножения. Умножим число 8 на 4.
$8 \cdot 4 = 32$
Ответ: 32

7 · 4
Для решения этого примера необходимо выполнить операцию умножения. Умножим число 7 на 4.
$7 \cdot 4 = 28$
Ответ: 28

32 : 4
Для решения этого примера необходимо выполнить операцию деления. Разделим число 32 на 4.
$32 \div 4 = 8$
Ответ: 8

14 : 7
Для решения этого примера необходимо выполнить операцию деления. Разделим число 14 на 7.
$14 \div 7 = 2$
Ответ: 2

24 : 6
Для решения этого примера необходимо выполнить операцию деления. Разделим число 24 на 6.
$24 \div 6 = 4$
Ответ: 4

20 : 4
Для решения этого примера необходимо выполнить операцию деления. Разделим число 20 на 4.
$20 \div 4 = 5$
Ответ: 5

36 : 9
Для решения этого примера необходимо выполнить операцию деления. Разделим число 36 на 9.
$36 \div 9 = 4$
Ответ: 4

28 : 4
Для решения этого примера необходимо выполнить операцию деления. Разделим число 28 на 4.
$28 \div 4 = 7$
Ответ: 7

42 + (20 – 8)
Согласно порядку выполнения арифметических действий, сначала выполняется операция в скобках, а затем сложение.
1. Выполним вычитание в скобках: $20 - 8 = 12$.
2. Теперь выполним сложение: $42 + 12 = 54$.
Ответ: 54

50 – (17 – 9)
Согласно порядку выполнения арифметических действий, сначала выполняется операция в скобках, а затем вычитание.
1. Выполним вычитание в скобках: $17 - 9 = 8$.
2. Теперь выполним основное вычитание: $50 - 8 = 42$.
Ответ: 42

70 – (38 + 7)
Согласно порядку выполнения арифметических действий, сначала выполняется операция в скобках, а затем вычитание.
1. Выполним сложение в скобках: $38 + 7 = 45$.
2. Теперь выполним вычитание: $70 - 45 = 25$.
Ответ: 25

6. 1) Сколько квадратов на чертеже?
2) Как получить 3 одинаковых квадрата, переложив 2 палочки? Найди несколько решений.
3) Как получить 4 одинаковых квадрата, если добавить 2 палочки?

1) Сколько квадратов на чертеже?

На чертеже изображена фигура, составленная из 12 палочек. Квадрат — это фигура с четырьмя равными сторонами и прямыми углами. Внимательно рассмотрев чертеж, можно увидеть только один полностью замкнутый квадрат, который находится в левом верхнем углу. Остальные части фигуры являются незамкнутыми или не образуют квадраты.

Ответ: На чертеже 1 квадрат.

2) Как получить 3 одинаковых квадрата, переложив 2 палочки? Найди несколько решений.

Чтобы получить 3 одинаковых квадрата, нужно переложить 2 палочки таким образом, чтобы в итоге получилось три отдельных квадрата. Поскольку каждый квадрат состоит из 4 палочек, на 3 квадрата потребуется $3 \times 4 = 12$ палочек, что соответствует общему числу палочек на чертеже.

Решение 1:

1. Возьмем среднюю горизонтальную палочку.

2. Возьмем самую правую вертикальную палочку из верхней правой группы.

Переместим эти две палочки так, чтобы они дополнили две нижние фигуры, состоящие из двух палочек каждая, до квадратов. В результате у нас останется верхний левый квадрат, и мы образуем два новых квадрата внизу. Таким образом, получится три одинаковых квадрата.

Решение 2:

1. Возьмем среднюю горизонтальную палочку и переместим ее так, чтобы она стала нижней стороной для верхней правой фигуры, состоящей из трех палочек. Это создаст второй квадрат.

2. Возьмем одну из вертикальных палочек из получившегося второго квадрата (ту, что оказалась внутри) и переместим ее, чтобы вместе с оставшимися четырьмя палочками внизу образовать третий квадрат.

Ответ: Можно, например, переложить среднюю горизонтальную палочку и одну из вертикальных палочек из правой верхней группы, чтобы достроить нижние фигуры до квадратов.

3) Как получить 4 одинаковых квадрата, если добавить 2 палочки?

Изначально у нас есть 12 палочек. Чтобы получить 4 одинаковых квадрата, мы можем сложить из них большой квадрат размером $2 \times 2$ (состоящий из четырех маленьких квадратов). Такая фигура как раз состоит из 12 палочек (3 горизонтальных и 3 вертикальных ряда по 2 палочки). Она содержит 4 одинаковых маленьких квадрата.

Задание предлагает добавить 2 палочки. Возможно, это уловка, и на самом деле нужно просто переложить существующие 12 палочек, чтобы сформировать фигуру из 4-х квадратов. Если же строго следовать условию, то после добавления двух палочек у нас будет 14 палочек.

Из 14 палочек можно составить 4 квадрата, если, например, сделать две пары соприкасающихся квадратов. Каждая такая пара требует 7 палочек ($4+3=7$). Две такие пары потребуют $7+7=14$ палочек.

Чтобы получить такую фигуру из исходной, можно:

1. Добавить одну палочку, чтобы замкнуть верхнюю правую фигуру в квадрат.

2. Добавить вторую палочку к нижней части фигуры и перестроить имеющиеся там 5 палочек в пару соприкасающихся квадратов (для этого потребуется 7 палочек, 5 из которых уже есть).

Однако, наиболее изящным решением является формирование сетки $2 \times 2$ из квадратов. Для этого нужно перестроить исходную фигуру. Возможно, условие "добавить 2 палочки" означает, что две палочки, которые нужно "добавить" в пустые места для завершения этой сетки, уже присутствуют в фигуре и их просто нужно переложить.

Ответ: Нужно добавить две палочки, чтобы завершить две неполные фигуры (например, верхнюю правую и нижнюю левую) до квадратов, при этом может потребоваться перестановка некоторых изначальных палочек, чтобы сформировать 4 квадрата.

Чтобы решить эту задачу, необходимо последовательно выполнить математические операции, указанные на шестеренках, начиная с числа 28.

1. Первое действие:
Делим начальное число 28 на 4.
$28 : 4 = 7$

2. Второе действие:
К полученному результату (7) прибавляем 5.
$7 + 5 = 12$

3. Третье действие:
Результат второго действия (12) делим на 4.
$12 : 4 = 3$

В результате выполнения цепочки вычислений мы получили число 3, которое указано на последней шестеренке.

Ответ: 3

Начерти два отрезка: длина первого 8 мм, а длина второго в 4 раза больше.

Для решения задачи сначала найдем длину второго отрезка, а затем начертим оба отрезка.

Нахождение длины второго отрезка

По условию, длина первого отрезка равна 8 мм. Длина второго отрезка в 4 раза больше. Чтобы найти его длину, нужно длину первого отрезка умножить на 4.
Выполним вычисление:
$8 \text{ мм} \times 4 = 32 \text{ мм}$
Таким образом, длина второго отрезка равна 32 мм. Эту длину также можно выразить в сантиметрах: 32 мм = 3 см 2 мм.
Ответ: длина второго отрезка равна 32 мм.

Построение отрезков

Теперь начертим два отрезка: первый длиной 8 мм и второй длиной 32 мм. Ниже представлено их графическое изображение, где соблюдено соотношение длин.

Ответ: отрезки с длинами 8 мм и 32 мм начерчены.