Страница 87, часть 1 - гдз по математике 3 класс учебник часть 1, 2 Моро, Бантова

4. Начерти в тетради такие фигуры. Проведи в каждой фигуре один отрезок так, чтобы стало видно, что все три фигуры имеют одинаковые площади.

В каких фигурах проведённый отрезок будет осью симметрии фигуры?

Чтобы показать, что все три фигуры имеют одинаковую площадь, сначала вычислим ее для каждой фигуры, принимая сторону одной клетки за единицу.

• Зеленый квадрат: Сторона квадрата равна 3 единицам. Его площадь вычисляется по формуле $S = a^2$.
  $S_{квадрата} = 3 \times 3 = 9$ квадратных единиц.

• Желтый треугольник: Это треугольник с основанием $b$, равным 6 единицам, и высотой $h$, равной 3 единицам. Его площадь вычисляется по формуле $S = \frac{1}{2}bh$.
  $S_{треугольника} = \frac{1}{2} \times 6 \times 3 = 9$ квадратных единиц.

• Синий параллелограмм: Это параллелограмм с основанием $b$, равным 3 единицам, и высотой $h$, равной 3 единицам. Его площадь вычисляется по формуле $S = bh$.
  $S_{параллелограмма} = 3 \times 3 = 9$ квадратных единиц.

Все три фигуры действительно имеют одинаковую площадь, равную 9 квадратным единицам. Чтобы наглядно это продемонстрировать, в каждой фигуре нужно провести один отрезок — высоту. Этот отрезок покажет, как можно преобразовать каждую фигуру в прямоугольник размером $3 \times 3$.

• В квадрате можно провести любой вертикальный или горизонтальный отрезок, соединяющий противоположные стороны. Этот отрезок будет являться его высотой. Сам квадрат уже является фигурой с наглядной площадью $3 \times 3 = 9$ клеток.

• В треугольнике нужно провести высоту из верхней вершины к его основанию. Этот отрезок разделит треугольник на два одинаковых прямоугольных треугольника. Если мысленно переместить один из этих треугольников и приставить его к другому, получится прямоугольник размером $3 \times 3$.

• В параллелограмме нужно провести высоту из одной из вершин верхнего основания перпендикулярно к нижнему основанию. Этот отрезок отсечет от параллелограмма прямоугольный треугольник. Переместив этот треугольник на другую сторону, мы также получим прямоугольник размером $3 \times 3$.

Ответ: В каждой фигуре следует провести высоту. Для квадрата и параллелограмма высота равна 3, для треугольника также высота равна 3. Эти отрезки показывают, как путем перестроения можно из треугольника и параллелограмма получить прямоугольник $3 \times 3$, что доказывает равенство их площадей площади исходного квадрата.

В каких фигурах проведённый отрезок будет осью симметрии фигуры?

Ось симметрии — это прямая, которая делит фигуру на две зеркально равные части. Рассмотрим проведенные отрезки (высоты) в каждой фигуре:

• В квадрате: Высота, проведенная через центр квадрата, делит его на два одинаковых прямоугольника, которые являются зеркальным отражением друг друга. Следовательно, этот отрезок является осью симметрии.

• В треугольнике: Так как данный треугольник равнобедренный, его высота, опущенная на основание, также является его осью симметрии. Она делит треугольник на два конгруэнтных прямоугольных треугольника.

• В параллелограмме: Проведенная высота делит параллелограмм на трапецию и прямоугольный треугольник. Эти части не являются зеркально симметричными. У параллелограмма в общем виде (если он не является ромбом или прямоугольником) нет осей симметрии. Таким образом, проведенный отрезок не является осью симметрии.

Ответ: Проведённый отрезок будет осью симметрии в квадрате и в треугольнике.

5. Поставь в кружки знаки арифметических действий так, чтобы равенства стали верными. Если надо, используй скобки.

• 8 O 4 O 2 = 34

  Для получения 34 в левой части равенства необходимо расставить знаки следующим образом: $8 \times 4 + 2$. Сначала выполняется умножение, так как оно имеет более высокий приоритет: $8 \times 4 = 32$. Затем выполняется сложение: $32 + 2 = 34$. Равенство становится верным. Скобки в данном случае не требуются.
  Ответ: $8 \times 4 + 2 = 34$.

• 8 O 4 O 2 = 10

  Чтобы получить 10, можно расставить знаки так: $8 + 4 - 2$. Действия выполняются по порядку слева направо, так как сложение и вычитание имеют одинаковый приоритет. Сначала сложение: $8 + 4 = 12$. Затем вычитание: $12 - 2 = 10$. Равенство становится верным. Скобки не нужны.
  Ответ: $8 + 4 - 2 = 10$.

• 8 O 4 O 2 = 4

  Чтобы получить 4, нужно расставить знаки следующим образом: $8 \div 4 + 2$. Сначала выполняется деление, так как оно имеет приоритет над сложением: $8 \div 4 = 2$. Затем к результату прибавляется 2: $2 + 2 = 4$. Равенство становится верным. Скобки не требуются.
  Ответ: $8 \div 4 + 2 = 4$.

• 8 O 4 O 2 = 14

  Для получения 14 нужно сложить все три числа: $8 + 4 + 2$. Действия выполняются последовательно слева направо: сначала $8 + 4 = 12$, затем $12 + 2 = 14$. Равенство становится верным. Скобки не нужны.
  Ответ: $8 + 4 + 2 = 14$.

• 8 O 4 O 2 = 1

  Чтобы в результате получилось 1, необходимо разделить 8 само на себя. Число 8 можно получить, умножив 4 на 2. Для этого необходимо изменить стандартный порядок действий с помощью скобок. Сначала выполним действие в скобках: $4 \times 2 = 8$. Затем разделим 8 на полученный результат: $8 \div 8 = 1$.
  Ответ: $8 \div (4 \times 2) = 1$.

• 8 O 4 O 2 = 30

  Чтобы получить 30, нужно сначала умножить 8 на 4, а затем из результата вычесть 2. Получаем: $8 \times 4 - 2$. Согласно правилам, сначала выполняется умножение: $8 \times 4 = 32$. Затем вычитание: $32 - 2 = 30$. Равенство верно. Скобки не требуются.
  Ответ: $8 \times 4 - 2 = 30$.

• 8 O 4 O 2 = 48

  Для получения 48 можно умножить 8 на 6. Число 6, в свою очередь, получается сложением 4 и 2. Чтобы сложение выполнилось раньше умножения, его необходимо заключить в скобки. Сначала выполняем действие в скобках: $4 + 2 = 6$. Затем умножаем 8 на полученный результат: $8 \times 6 = 48$.
  Ответ: $8 \times (4 + 2) = 48$.

• 8 O 4 O 2 = 64

  Чтобы получить 64, нужно перемножить все три числа: $8 \times 4 \times 2$. Действия выполняются последовательно: сначала $8 \times 4 = 32$. Затем $32 \times 2 = 64$. Равенство становится верным. Скобки не нужны, так как при последовательном умножении порядок действий не влияет на результат.
  Ответ: $8 \times 4 \times 2 = 64$.

6. Вычислительная машина работает так:

1) Какое число будет получаться на выходе из машины, если в неё ввести число: 3, 8, 2, 11, 14?

2) Какое число ввели в машину, если на выходе из машины получили число 3?

1) Какое число будет получаться на выходе из машины, если в неё ввести число: 3, 8, 2, 11, 14?

Для решения этой задачи необходимо последовательно обработать каждое входное число согласно алгоритму, представленному на схеме. Алгоритм работает по следующему принципу:

• Сначала проверяется условие: «Входное число больше 5?».
• Если ответ «Да» (число $> 5$), то выполняется действие $(\text{число} - 5) \cdot 3$.
• Если ответ «Нет» (число $\le 5$), то выполняется действие $(\text{число} + 5) \cdot 2$.

Выполним вычисления для каждого из предложенных чисел:

• Для числа 3: условие $3 > 5$ не выполняется (Нет), значит, вычисляем по формуле $(\text{число} + 5) \cdot 2$.
  $(3 + 5) \cdot 2 = 8 \cdot 2 = 16$.
• Для числа 8: условие $8 > 5$ выполняется (Да), значит, вычисляем по формуле $(\text{число} - 5) \cdot 3$.
  $(8 - 5) \cdot 3 = 3 \cdot 3 = 9$.
• Для числа 2: условие $2 > 5$ не выполняется (Нет), значит, вычисляем по формуле $(\text{число} + 5) \cdot 2$.
  $(2 + 5) \cdot 2 = 7 \cdot 2 = 14$.
• Для числа 11: условие $11 > 5$ выполняется (Да), значит, вычисляем по формуле $(\text{число} - 5) \cdot 3$.
  $(11 - 5) \cdot 3 = 6 \cdot 3 = 18$.
• Для числа 14: условие $14 > 5$ выполняется (Да), значит, вычисляем по формуле $(\text{число} - 5) \cdot 3$.
  $(14 - 5) \cdot 3 = 9 \cdot 3 = 27$.

Ответ: на выходе из машины последовательно получатся числа 16, 9, 14, 18, 27.

2) Какое число ввели в машину, если на выходе из машины получили число 3?

Это обратная задача. Нам известен результат (Выход = 3), и нужно найти исходное число (Вход). Обозначим искомое число как x. Поскольку в алгоритме есть две ветки вычислений, нужно проверить обе, чтобы найти все возможные решения.

Случай 1: Вычисление шло по ветке «Да».

Это могло произойти, если входное число $x > 5$. Уравнение для этого случая:

$(x - 5) \cdot 3 = 3$

Разделим обе части на 3:

$x - 5 = 1$

Прибавим 5 к обеим частям:

$x = 1 + 5$

$x = 6$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x=6$ исходному условию $x > 5$. Да, $6 > 5$, следовательно, 6 является верным решением.

Случай 2: Вычисление шло по ветке «Нет».

Это могло произойти, если входное число $x \le 5$. Уравнение для этого случая:

$(x + 5) \cdot 2 = 3$

Разделим обе части на 2:

$x + 5 = 1.5$

Вычтем 5 из обеих частей:

$x = 1.5 - 5$

$x = -3.5$

Проверим, удовлетворяет ли найденный корень $x = -3.5$ исходному условию $x \le 5$. Да, $-3.5 \le 5$, следовательно, -3,5 также является верным решением.

Ответ: в машину ввели число 6 или -3,5.

1. В соревнованиях участвовали семьи, в каждой папа, мама и дети. 80 человек представляли семьи с тремя детьми, 60 человек — с двумя детьми.

Сколько семей с двумя детьми и сколько семей с тремя детьми участвовали в соревнованиях? Сколько всего семей приняли участие в соревнованиях? Сколько мальчиков и сколько девочек участвовали в соревнованиях?

Определи, какие вопросы подходят к данному условию. Реши задачи с этими вопросами. Для ответа на какие вопросы данных не хватает?

Дополни задачу необходимыми данными и ответь на эти вопросы.

К данному условию подходят первые два вопроса, так как для ответа на них достаточно имеющихся данных. Для ответа на третий вопрос о количестве мальчиков и девочек данных в задаче не хватает, поскольку неизвестно гендерное распределение детей. Сначала решим те задачи, для которых данных достаточно.

Сколько семей с двумя детьми и сколько семей с тремя детьми участвовали в соревнованиях?

1. Сначала определим, сколько человек в одной семье каждого типа. В каждой семье есть папа и мама (2 взрослых).

• Семья с тремя детьми состоит из: $2$ (взрослых) $+ 3$ (детей) $= 5$ человек.
• Семья с двумя детьми состоит из: $2$ (взрослых) $+ 2$ (детей) $= 4$ человека.

2. Теперь можем найти количество семей каждого типа.

• Количество семей с тремя детьми: $80$ (всего человек) $ / 5$ (человек в семье) $= 16$ семей.
• Количество семей с двумя детьми: $60$ (всего человек) $ / 4$ (человека в семье) $= 15$ семей.

Ответ: в соревнованиях участвовали 16 семей с тремя детьми и 15 семей с двумя детьми.

Сколько всего семей приняли участие в соревнованиях?

Чтобы найти общее количество семей, нужно сложить количество семей с тремя детьми и количество семей с двумя детьми, которые мы нашли в предыдущем пункте:

$16$ (семей с 3 детьми) $+ 15$ (семей с 2 детьми) $= 31$ семья.

Ответ: всего в соревнованиях приняла участие 31 семья.

Дополним задачу и ответим на третий вопрос.

Как мы уже определили, данных для ответа на этот вопрос не хватает. Дополним условие: пусть среди всех участвовавших детей было 40 мальчиков. Теперь мы можем решить задачу.

Сколько мальчиков и сколько девочек участвовали в соревнованиях?

1. Сначала найдем общее количество детей, которые приняли участие в соревнованиях.

• Детей из семей с тремя детьми: $16$ (семей) $ * 3$ (ребенка) $= 48$ детей.
• Детей из семей с двумя детьми: $15$ (семей) $ * 2$ (ребенка) $= 30$ детей.
• Всего детей: $48 + 30 = 78$ детей.

2. Согласно нашему дополнительному условию, в соревнованиях участвовало 40 мальчиков.

3. Чтобы найти количество девочек, нужно из общего числа детей вычесть количество мальчиков:

$78$ (всего детей) $- 40$ (мальчиков) $= 38$ девочек.

Ответ: в соревнованиях участвовали 40 мальчиков и 38 девочек.

2. Кто какое место занял на соревнованиях по прыжкам в длину, если Кирилл прыгнул на 2 м 70 см и его прыжок был на 4 дм длиннее прыжка Бориса, а прыжок Глеба был на 30 см короче прыжка Кирилла?

Чтобы определить, кто какое место занял, нужно вычислить длину прыжка каждого из мальчиков и сравнить полученные результаты. Для удобства вычислений и сравнения переведем все значения в одну единицу измерения — сантиметры (см).

1. Находим длину прыжка Кирилла в сантиметрах

Известно, что Кирилл прыгнул на 2 м 70 см. В 1 метре содержится 100 сантиметров, поэтому:

$2 \text{ м } 70 \text{ см} = 2 \times 100 \text{ см} + 70 \text{ см} = 200 \text{ см} + 70 \text{ см} = 270 \text{ см}$.

Итак, длина прыжка Кирилла составляет 270 см.

2. Находим длину прыжка Бориса

По условию, прыжок Кирилла на 4 дм длиннее прыжка Бориса. Это значит, что прыжок Бориса на 4 дм короче. В 1 дециметре 10 сантиметров, поэтому 4 дм — это:

$4 \text{ дм} = 4 \times 10 \text{ см} = 40 \text{ см}$.

Теперь вычтем эту величину из результата Кирилла, чтобы найти длину прыжка Бориса:

$270 \text{ см} - 40 \text{ см} = 230 \text{ см}$.

Длина прыжка Бориса составляет 230 см.

3. Находим длину прыжка Глеба

Прыжок Глеба был на 30 см короче прыжка Кирилла. Вычисляем длину его прыжка:

$270 \text{ см} - 30 \text{ см} = 240 \text{ см}$.

Длина прыжка Глеба составляет 240 см.

4. Сравниваем результаты и распределяем места

Мы получили следующие результаты:

• Кирилл: 270 см
• Глеб: 240 см
• Борис: 230 см

В соревнованиях по прыжкам в длину побеждает тот, кто прыгнул дальше. Сравним длины прыжков:

$270 \text{ см} > 240 \text{ см} > 230 \text{ см}$.

Из этого следует, что:

• 1 место — Кирилл (самый длинный прыжок).
• 2 место — Глеб.
• 3 место — Борис (самый короткий прыжок).

Ответ: 1 место занял Кирилл, 2 место — Глеб, а 3 место — Борис.

3. На соревнованиях по прыжкам в высоту Дима прыгнул на 90 см, Коля — на 1 м 2 см, а Алёша — на 98 см. Кто из мальчиков прыгнул выше всех? На сколько сантиметров выше прыгнул Коля, чем Дима?

Кто из мальчиков прыгнул выше всех?

Чтобы определить, кто из мальчиков прыгнул выше всех, необходимо сравнить высоту их прыжков. Для этого нужно привести все значения к одной единице измерения, например, к сантиметрам.

Высота прыжка Димы: $90$ см.

Высота прыжка Алёши: $98$ см.

Высота прыжка Коли: $1$ м $2$ см. Мы знаем, что в одном метре $100$ сантиметров, поэтому переведем высоту прыжка Коли в сантиметры:
$1 \text{ м } 2 \text{ см} = 100 \text{ см} + 2 \text{ см} = 102 \text{ см}$.

Теперь сравним высоты прыжков всех мальчиков в сантиметрах:
Дима — $90$ см;
Алёша — $98$ см;
Коля — $102$ см.

Сравнивая числа $90$, $98$ и $102$, мы видим, что самое большое число — $102$.
$102 > 98 > 90$.

Таким образом, самый высокий прыжок совершил Коля.

Ответ: Коля прыгнул выше всех.

На сколько сантиметров выше прыгнул Коля, чем Дима?

Чтобы найти, на сколько сантиметров Коля прыгнул выше Димы, необходимо из высоты прыжка Коли вычесть высоту прыжка Димы.

Высота прыжка Коли: $102$ см.

Высота прыжка Димы: $90$ см.

Находим разницу:
$102 \text{ см} - 90 \text{ см} = 12 \text{ см}$.

Ответ: Коля прыгнул выше Димы на $12$ сантиметров.