Номер 8, страница 23, часть 1 - гдз по математике 3 класс рабочая тетрадь Петерсон

Урок 11. Свойства пересечения множеств*. Часть 1 - номер 8, страница 23.

Условие.

8 Разместить 3 элемента в множествах $A$ и $B$ так, чтобы в каждом из них было: а) по 2 элемента; б) по 3 элемента.

а) $A$ $B$

б) $A$ $B$

Решение.

Решение 2.

Для решения задачи обозначим количество элементов в каждой из трех областей на диаграмме Венна:
- $x$ — количество элементов, принадлежащих только множеству $A$ (область $A \setminus B$).
- $y$ — количество элементов, принадлежащих только множеству $B$ (область $B \setminus A$).
- $z$ — количество элементов, принадлежащих обоим множествам (область пересечения $A \cap B$).
Общее количество элементов, которое нам нужно разместить, равно 3. Следовательно, должно выполняться равенство: $x + y + z = 3$.

а)

По условию, в каждом из множеств должно быть по 2 элемента.
Количество элементов в множестве $A$ равно сумме элементов в его уникальной части и в пересечении: $|A| = x + z$. Таким образом, $x + z = 2$.
Количество элементов в множестве $B$ равно сумме элементов в его уникальной части и в пересечении: $|B| = y + z$. Таким образом, $y + z = 2$.
Мы получили систему из трех уравнений с тремя неизвестными ($x, y, z$ — целые неотрицательные числа):
1) $x + y + z = 3$
2) $x + z = 2$
3) $y + z = 2$
Из уравнений (2) и (3) видно, что $x = 2 - z$ и $y = 2 - z$.
Подставим эти выражения в первое уравнение:
$(2 - z) + (2 - z) + z = 3$
$4 - 2z + z = 3$
$4 - z = 3$
$z = 1$
Теперь найдем $x$ и $y$:
$x = 2 - z = 2 - 1 = 1$
$y = 2 - z = 2 - 1 = 1$
Таким образом, мы должны разместить 1 элемент в области, принадлежащей только $A$, 1 элемент в области, принадлежащей только $B$, и 1 элемент в их пересечении.
Проверим: общее число элементов $1 + 1 + 1 = 3$. В множестве $A$ будет $1 + 1 = 2$ элемента. В множестве $B$ будет $1 + 1 = 2$ элемента. Все условия выполнены.
Ответ: 1 элемент разместить в области, принадлежащей только множеству $A$, 1 элемент — в области, принадлежащей только множеству $B$, и 1 элемент — в области их пересечения.

б)

По условию, в каждом из множеств должно быть по 3 элемента.
Количество элементов в множестве $A$: $|A| = x + z = 3$.
Количество элементов в множестве $B$: $|B| = y + z = 3$.
Снова составим систему уравнений, используя также условие об общем числе элементов $x+y+z=3$:
1) $x + y + z = 3$
2) $x + z = 3$
3) $y + z = 3$
Подставим выражение для $(x + z)$ из второго уравнения в первое:
$(x + z) + y = 3$
$3 + y = 3$
$y = 0$
Теперь, зная $y$, подставим его значение в третье уравнение:
$0 + z = 3$
$z = 3$
Наконец, подставим значение $z$ во второе уравнение:
$x + 3 = 3$
$x = 0$
Получаем, что $x=0$, $y=0$, $z=3$. Это означает, что все 3 элемента должны быть размещены в области пересечения множеств $A$ и $B$.
Проверим: общее число элементов $0 + 0 + 3 = 3$. В множестве $A$ будет $0 + 3 = 3$ элемента. В множестве $B$ будет $0 + 3 = 3$ элемента. Все условия выполнены.
Ответ: все 3 элемента разместить в области пересечения множеств $A$ и $B$.