Номер 6, страница 51, часть 1 - гдз по математике 3 класс рабочая тетрадь Петерсон

Урок 33. Умножение на 10, 100, 1000. Часть 1 - номер 6, страница 51.

Условие.

6 Сколькими нулями оканчивается произведение натуральных чисел от 1 до 10 включительно?

Решение.

Решение 2.

Чтобы определить, сколькими нулями оканчивается произведение, нужно посчитать, сколько раз в его разложении на простые множители встречается число 10. Каждый ноль на конце числа образуется произведением $2 \times 5 = 10$.

Произведение натуральных чисел от 1 до 10 включительно — это факториал числа 10, который обозначается как $10!$.

$10! = 1 \times 2 \times 3 \times 4 \times 5 \times 6 \times 7 \times 8 \times 9 \times 10$

Количество нулей определяется количеством пар множителей (2 и 5). В разложении $10!$ на простые множители двоек всегда больше, чем пятерок, поэтому достаточно посчитать только количество пятерок.

Выпишем числа от 1 до 10, которые делятся на 5:

• 5 (дает один множитель 5)
• 10 (дает один множитель 5, так как $10 = 2 \times 5$)

Всего в произведении $10!$ содержится $1 + 1 = 2$ множителя 5.

Теперь посчитаем количество множителей 2 для полноты решения:

• 2 (один множитель 2)
• 4 (два множителя 2, т.к. $4 = 2^2$)
• 6 (один множитель 2, т.к. $6 = 2 \times 3$)
• 8 (три множителя 2, т.к. $8 = 2^3$)
• 10 (один множитель 2, т.к. $10 = 2 \times 5$)

Всего множителей 2: $1 + 2 + 1 + 3 + 1 = 8$.

У нас есть 8 множителей 2 и 2 множителя 5. Мы можем составить только 2 пары (2 и 5). Каждая такая пара дает один ноль в конце произведения. Следовательно, произведение будет оканчиваться двумя нулями.

Проверим прямым вычислением:
$10! = 3\;628\;800$.
Число 3 628 800 оканчивается двумя нулями.

Ответ: 2