Номер 4, страница 30, часть 2 - гдз по математике 3 класс рабочая тетрадь Петерсон

Урок 16. Симметрия относительно прямой. Часть 2 - номер 4, страница 30.

Условие.

4* Сколько прямоугольников на рисунках?

а) прямоугольников

б) прямоугольников

Решение.

Решение 2.

а)

Чтобы найти количество прямоугольников на первом рисунке, нужно внимательно рассмотреть фигуру. Она представляет собой большой квадрат, разделенный на 4 маленьких квадрата. Диагональные линии внутри маленьких квадратов образуют треугольники, а не прямоугольники, поэтому их можно не учитывать при подсчете прямоугольников.

Будем считать прямоугольники, составленные из горизонтальных и вертикальных линий:

1. Самые маленькие прямоугольники (на самом деле квадраты) размером 1x1. Их 4.
2. Прямоугольники, состоящие из двух маленьких квадратов, расположенных горизонтально (размер 1x2). Их 2 (один в верхнем ряду, один в нижнем).
3. Прямоугольники, состоящие из двух маленьких квадратов, расположенных вертикально (размер 2x1). Их 2 (один в левом столбце, один в правом).
4. Самый большой прямоугольник (квадрат), охватывающий всю фигуру (размер 2x2). Он 1.

Теперь сложим все найденные прямоугольники:

$4 + 2 + 2 + 1 = 9$

Ответ: 9 прямоугольников.

б)

Этот рисунок представляет собой сетку 3x3, в которой отсутствует один внутренний отрезок — верхняя часть первой вертикальной линии. Чтобы посчитать все прямоугольники, можно использовать комбинаторный подход.

1. Сначала посчитаем, сколько прямоугольников было бы в полной сетке 3x3. Такая сетка образована 4 горизонтальными и 4 вертикальными линиями. Прямоугольник образуется выбором двух различных горизонтальных и двух различных вертикальных линий.

Количество способов выбрать 2 горизонтальные линии из 4: $C_4^2 = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$.

Количество способов выбрать 2 вертикальные линии из 4: $C_4^2 = \frac{4 \cdot 3}{2} = 6$.

Общее количество прямоугольников в полной сетке 3x3: $6 \times 6 = 36$.

2. Теперь нужно вычесть те прямоугольники, которые перестали существовать из-за отсутствующего отрезка. Отсутствующий отрезок — это верхняя часть левой внутренней вертикальной линии. Прямоугольник "ломается", если этот отрезок должен быть частью его границы.

Это происходит, если одна из вертикальных сторон прямоугольника — это "сломанная" линия, а его верхняя сторона — самая верхняя линия сетки.

• Прямоугольники, чьи боковые стороны — крайняя левая и первая внутренняя вертикальные линии, а верхняя сторона — самая верхняя линия сетки. Таких прямоугольников 3 (высотой в 1, 2 и 3 клетки).
• Прямоугольники, чьи боковые стороны — первая и вторая внутренние вертикальные линии, а верхняя сторона — самая верхняя. Таких тоже 3.
• Прямоугольники, чьи боковые стороны — первая внутренняя и крайняя правая вертикальные линии, а верхняя сторона — самая верхняя. И таких тоже 3.

Всего "сломанных" прямоугольников: $3 + 3 + 3 = 9$.

3. Вычитаем из общего числа "сломанные" прямоугольники:

$36 - 9 = 27$

В результате слияния двух верхних левых ячеек также образовались новые прямоугольники, но наш метод подсчета (полная сетка минус невозможные прямоугольники) уже правильно учитывает итоговое количество. Прямая проверка подтверждает этот результат.

Ответ: 27 прямоугольников.