Номер 6, страница 29, часть 2 - гдз по математике 3 класс рабочая тетрадь Петерсон

Часть 2. Урок 15. Перемещение фигур на плоскости - номер 6, страница 29.

Условие.

6 По углам квадратного пруда растёт 4 старых дуба.

Площадь пруда решили увеличить в 2 раза так, чтобы он по-прежнему остался квадратным, и при этом не выкапывать дубы. Как это сделать?

Решение.

Решение 2.

Для решения этой задачи воспользуемся геометрическим подходом.

Пусть сторона исходного квадратного пруда равна $a$. Его площадь, соответственно, равна $S_1 = a^2$. В углах этого квадрата растут 4 дуба.

По условию, площадь нового пруда должна быть в 2 раза больше, то есть $S_2 = 2 \cdot S_1 = 2a^2$. Так как новый пруд также должен быть квадратным, то его сторона, обозначим ее $b$, должна быть такой, чтобы $b^2 = 2a^2$. Отсюда находим, что сторона нового квадрата равна $b = \sqrt{2a^2} = a\sqrt{2}$.

Интересно, что $a\sqrt{2}$ — это в точности длина диагонали исходного квадрата со стороной $a$.

Чтобы увеличить пруд, не выкапывая дубы, нужно изменить его расположение. Новый квадратный пруд следует выкопать так, чтобы его вершины находились на продолжении линий, соединяющих центр старого пруда с серединами его сторон.

Проще говоря, новый квадрат нужно повернуть на 45° относительно старого. В таком случае дубы, которые были в вершинах старого квадрата, окажутся ровно посередине сторон нового, большего квадрата.

Докажем, что площадь при этом увеличится ровно в 2 раза. Новый большой квадрат можно представить состоящим из исходного квадрата и четырех одинаковых прямоугольных треугольников, пристроенных к его сторонам. Стороны старого квадрата (длиной $a$) являются гипотенузами этих треугольников. Площадь каждого такого треугольника равна $a^2/4$. Так как их четыре, их суммарная площадь составляет $4 \cdot (a^2/4) = a^2$.

Таким образом, общая площадь нового пруда равна сумме площади старого пруда и площади четырех треугольников: $S_2 = S_1 + a^2 = a^2 + a^2 = 2a^2$.

Это полностью соответствует условию задачи: новый пруд остался квадратным, его площадь увеличилась в два раза, а дубы не были выкопаны и теперь растут на середине каждой стороны нового берега.

Ответ: Нужно расширить пруд, повернув его границы на 45 градусов таким образом, чтобы места, где растут дубы (бывшие углы), стали серединами новых сторон пруда.