Номер 14, страница 29, часть 1 - гдз по математике 3 класс учебное пособие - тетрадь Петерсон

Урок 10. Свойства операции пересечения множеств*. Часть 1 - номер 14, страница 29.

Условие 2024.

14* Расположи 4 элемента на диаграммах множеств $A$ и $B$ так, чтобы в каждом из них было соответственно:

а) по 3 элемента; $A$ $B$

б) 2 и 4 элемента; $A$ $B$

в) 4 и 3 элемента; $A$ $B$

г) 0 и 4 элемента; $A$ $B$

д) по 4 элемента; $A$ $B$

е) по 2 элемента. $A$ $B$

Решение 2 (2024).

Для решения задачи обозначим количество элементов в каждой из трех областей диаграммы Венна:

• $x$ — количество элементов, принадлежащих только множеству A (область $A \setminus B$).
• $y$ — количество элементов, принадлежащих обоим множествам, то есть их пересечению (область $A \cap B$).
• $z$ — количество элементов, принадлежащих только множеству B (область $B \setminus A$).

По условию, общее количество элементов, которые нужно расположить, равно 4. Следовательно, для всех случаев должно выполняться равенство: $x + y + z = 4$. Количество элементов в множестве A равно $|A| = x + y$, а в множестве B — $|B| = y + z$.

а) по 3 элемента
Требуется, чтобы в множестве A было 3 элемента и в множестве B было 3 элемента. Получаем систему уравнений:
$x + y = 3$
$y + z = 3$
$x + y + z = 4$
Из первого и третьего уравнений: $(x + y) + z = 4 \Rightarrow 3 + z = 4 \Rightarrow z = 1$.
Подставим $z = 1$ во второе уравнение: $y + 1 = 3 \Rightarrow y = 2$.
Подставим $y = 2$ в первое уравнение: $x + 2 = 3 \Rightarrow x = 1$.
Проверка: $x + y + z = 1 + 2 + 1 = 4$. Условия выполнены.
Ответ: 1 элемент в части, принадлежащей только множеству A, 2 элемента в пересечении множеств и 1 элемент в части, принадлежащей только множеству B.

б) 2 и 4 элемента
Требуется, чтобы в множестве A было 2 элемента, а в множестве B — 4 элемента.
$x + y = 2$
$y + z = 4$
$x + y + z = 4$
Из второго и третьего уравнений: $x + (y + z) = 4 \Rightarrow x + 4 = 4 \Rightarrow x = 0$.
Подставим $x = 0$ в первое уравнение: $0 + y = 2 \Rightarrow y = 2$.
Подставим $y = 2$ во второе уравнение: $2 + z = 4 \Rightarrow z = 2$.
Проверка: $x + y + z = 0 + 2 + 2 = 4$. Условия выполнены.
Ответ: 0 элементов в части, принадлежащей только множеству A, 2 элемента в пересечении, 2 элемента в части, принадлежащей только множеству B. (Множество A является подмножеством B).

в) 4 и 3 элемента
Требуется, чтобы в множестве A было 4 элемента, а в множестве B — 3 элемента.
$x + y = 4$
$y + z = 3$
$x + y + z = 4$
Из первого и третьего уравнений: $(x + y) + z = 4 \Rightarrow 4 + z = 4 \Rightarrow z = 0$.
Подставим $z = 0$ во второе уравнение: $y + 0 = 3 \Rightarrow y = 3$.
Подставим $y = 3$ в первое уравнение: $x + 3 = 4 \Rightarrow x = 1$.
Проверка: $x + y + z = 1 + 3 + 0 = 4$. Условия выполнены.
Ответ: 1 элемент в части, принадлежащей только множеству A, 3 элемента в пересечении, 0 элементов в части, принадлежащей только множеству B. (Множество B является подмножеством A).

г) 0 и 4 элемента
Требуется, чтобы в множестве A было 0 элементов, а в множестве B — 4 элемента.
$x + y = 0$
$y + z = 4$
$x + y + z = 4$
Из первого уравнения, так как $x$ и $y$ не могут быть отрицательными, следует, что $x = 0$ и $y = 0$.
Подставим $y = 0$ во второе уравнение: $0 + z = 4 \Rightarrow z = 4$.
Проверка: $x + y + z = 0 + 0 + 4 = 4$. Условия выполнены.
Ответ: 0 элементов в части, принадлежащей только A, 0 элементов в пересечении и 4 элемента в части, принадлежащей только B. (Множество A — пустое, и множества не пересекаются).

д) по 4 элемента
Требуется, чтобы в каждом множестве было по 4 элемента.
$x + y = 4$
$y + z = 4$
$x + y + z = 4$
Из первого и третьего уравнений: $(x + y) + z = 4 \Rightarrow 4 + z = 4 \Rightarrow z = 0$.
Из второго и третьего уравнений: $x + (y + z) = 4 \Rightarrow x + 4 = 4 \Rightarrow x = 0$.
Подставим $x = 0$ в первое уравнение: $0 + y = 4 \Rightarrow y = 4$.
Проверка: $x + y + z = 0 + 4 + 0 = 4$. Условия выполнены.
Ответ: 0 элементов в частях, принадлежащих только A или только B, и 4 элемента в пересечении. (Множества A и B равны).

е) по 2 элемента
Требуется, чтобы в каждом множестве было по 2 элемента.
$x + y = 2$
$y + z = 2$
$x + y + z = 4$
Из первого и третьего уравнений: $(x + y) + z = 4 \Rightarrow 2 + z = 4 \Rightarrow z = 2$.
Подставим $z = 2$ во второе уравнение: $y + 2 = 2 \Rightarrow y = 0$.
Подставим $y = 0$ в первое уравнение: $x + 0 = 2 \Rightarrow x = 2$.
Проверка: $x + y + z = 2 + 0 + 2 = 4$. Условия выполнены.
Ответ: 2 элемента в части, принадлежащей только множеству A, 0 элементов в пересечении и 2 элемента в части, принадлежащей только множеству B. (Множества не пересекаются).

Условие 2020-2022.

14* Расположи 4 элемента на диаграммах множеств A и B так, чтобы в каждом из них было соответственно: а) по 3 элемента; б) 2 и 4 элемента; в) 4 и 3 элемента; г) 0 и 4 элемента; д) по 4 элемента; е) по 2 элемента.

а) A B

б) A B

в) A B

г) A B

д) A B

е) A B

Решение 2020-2022.