Номер 8, страница 12, часть 4 - гдз по математике 4 класс учебник Акпаева, Лебедева

ТЫ ИССЛЕДОВАТЕЛЬ

8. Реши задачу с помощью кругов Эйлера.

Из сотрудников Научного института космических исследо- ваний 12 побывали во Франции, 10 – в Италии, 8 – в Англии; в Англии и Италии – 5; в Англии и Франции – 6; во Франции и Италии – 6. Во всех трех странах – 4. Сколько человек работает в институте?

Для решения задачи с помощью кругов Эйлера, необходимо последовательно определить количество сотрудников в каждой из непересекающихся областей диаграммы, которая представляет три множества: сотрудники, побывавшие во Франции (Ф), в Италии (И) и в Англии (А).

Начнем с центральной области, соответствующей сотрудникам, побывавшим во всех трёх странах.

1. Определение числа сотрудников в центре диаграммы

По условию, во всех трёх странах (Англия, Италия и Франция) побывали 4 сотрудника. Это значение для области пересечения всех трёх кругов: $|А \cap И \cap Ф| = 4$.

2. Определение числа сотрудников, побывавших ровно в двух странах

Чтобы найти эти значения, из числа сотрудников, посетивших каждую пару стран, нужно вычесть тех, кто посетил все три страны.

• Только в Англии и Франции: $6 - 4 = 2$ сотрудника.
• Только в Англии и Италии: $5 - 4 = 1$ сотрудник.
• Только во Франции и Италии: $6 - 4 = 2$ сотрудника.

3. Определение числа сотрудников, побывавших ровно в одной стране

Чтобы найти эти значения, из общего числа посетителей каждой страны вычтем тех, кто посетил также и другие страны (то есть, суммы из предыдущих шагов для соответствующего круга).

• Только во Франции: $12 - (2 + 2 + 4) = 12 - 8 = 4$ сотрудника.
• Только в Италии: $10 - (1 + 2 + 4) = 10 - 7 = 3$ сотрудника.
• Только в Англии: $8 - (1 + 2 + 4) = 8 - 7 = 1$ сотрудник.

4. Определение общего числа сотрудников

Чтобы найти общее число сотрудников, побывавших хотя бы в одной из стран (что, в контексте задачи, является общим числом сотрудников института, о которых идет речь), нужно сложить количество сотрудников из всех непересекающихся областей диаграммы.

Общее число $= (\text{только А}) + (\text{только И}) + (\text{только Ф}) + (\text{только А и И}) + (\text{только А и Ф}) + (\text{только И и Ф}) + (\text{все три})$

Общее число $= 1 + 3 + 4 + 1 + 2 + 2 + 4 = 17$

Таким образом, всего в поездках участвовало 17 сотрудников. Поскольку в задаче не упоминаются сотрудники, не ездившие ни в одну из стран, мы принимаем это число за общее количество сотрудников в институте.

Проверить решение можно с помощью формулы включений-исключений:

$|А \cup И \cup Ф| = |А| + |И| + |Ф| - (|А \cap И| + |А \cap Ф| + |И \cap Ф|) + |А \cap И \cap Ф|$

$|А \cup И \cup Ф| = 8 + 10 + 12 - (5 + 6 + 6) + 4 = 30 - 17 + 4 = 17$

Ответ: 17 человек.