Номер 5, страница 11, часть 4 - гдз по математике 4 класс учебник Акпаева, Лебедева

ТЫ ИССЛЕДОВАТЕЛЬ

5. Объясни два способа решения задачи.

На международный конгресс приехали 100 астрономов из разных стран. Все материалы конгресса были опубликованы на английском, немецком, французском языках. Оказалось, что из 100 учёных английский знают 42, немецкий 30, французский 28. английский и немецкий 5, английский и французский 10, немецкий и французский 8, английский, немецкий и французский - 3 астронома. Сколько учёных не знают ни одного из этих языков?

Арман подумал

и предложил такое

решение.

$42+30+28-5-10-8+3=80$

$100-80=20$

Подумай, как он

рассуждал.

Света решила

с помощью кругов

Эйлера и рассуждала так.

100 A

H

20

30

2

3

5

7

13

Φ

20

Какой способ тебе больше понравился?

Реши задачу с помощью кругов Эйлера, используя рисунок

Светы.

Подумай, как он рассуждал.

Арман применил для решения задачи формулу включений и исключений. Его рассуждения можно разбить на несколько шагов:

1. Сначала он складывает количество учёных, знающих каждый из трёх языков: $42$ (английский) $+ 30$ (немецкий) $+ 28$ (французский). Это делается для того, чтобы охватить всех, кто знает хотя бы один язык.

2. При таком сложении те учёные, которые знают два языка, были посчитаны дважды (например, знающий английский и немецкий попал и в группу из 42, и в группу из 30). Поэтому Арман вычитает количество учёных, знающих пары языков: $- 5$ (английский и немецкий), $- 10$ (английский и французский), $- 8$ (немецкий и французский).

3. Во время второго шага те, кто знает все три языка, были вычтены три раза (по одному разу для каждой пары языков). Однако в первом шаге их прибавили тоже три раза. Это означает, что на данном этапе они не посчитаны вовсе. Чтобы это исправить, нужно прибавить их количество один раз: $+ 3$.

4. В результате получается общее число учёных, которые знают хотя бы один из трёх языков: $42 + 30 + 28 - 5 - 10 - 8 + 3 = 80$.

5. Чтобы найти, сколько учёных не знают ни одного из этих языков, нужно из общего числа участников конгресса (100) вычесть полученное число: $100 - 80 = 20$.

Ответ: 20

Света решила с помощью кругов Эйлера и рассуждала так.

Этот способ предполагает визуализацию множеств и их пересечений. Решение задачи с помощью кругов Эйлера, как на рисунке Светы, выполняется по шагам, двигаясь от центра диаграммы к её краям.

1. В самое центральное пересечение (область для знающих все три языка) вписываем число 3. Это те, кто знает английский, немецкий и французский ($А \cap Н \cap Ф$).

2. Рассчитываем области, соответствующие знающим ровно два языка:

- Английский и немецкий знают 5 человек, но 3 из них знают и французский. Значит, только английский и немецкий знают: $5 - 3 = 2$ человека.

- Английский и французский знают 10 человек. Только английский и французский: $10 - 3 = 7$ человек.

- Немецкий и французский знают 8 человек. Только немецкий и французский: $8 - 3 = 5$ человек.

3. Теперь рассчитываем, сколько человек знают только один язык:

- Только английский: из 42 знающих английский вычитаем тех, кто знает и другие языки: $42 - 2 - 7 - 3 = 30$ человек.

- Только немецкий: из 30 знающих немецкий вычитаем всех, кто знает другие языки: $30 - 2 - 5 - 3 = 20$ человек.

- Только французский: из 28 знающих французский вычитаем всех, кто знает другие языки: $28 - 7 - 5 - 3 = 13$ человек.

4. Чтобы найти общее число учёных, знающих хотя бы один язык, складываем все числа внутри кругов: $30 (\text{только А}) + 20 (\text{только Н}) + 13 (\text{только Ф}) + 2 (\text{А+Н}) + 7 (\text{А+Ф}) + 5 (\text{Н+Ф}) + 3 (\text{А+Н+Ф}) = 80$ человек.

5. Наконец, чтобы найти, сколько учёных не знают ни одного языка, вычитаем это число из общего количества учёных: $100 - 80 = 20$ человек.

Ответ: 20