Номер 7, страница 109, часть 2 - гдз по математике 4 класс учебник Дорофеев, Миракова

7 Начерти в тетради отрезок $OM$ произвольной длины. Можно ли построить окружность с центром в точке $O$ так, чтобы она:

1) пересекала отрезок $OM$ в одной точке;

2) пересекала отрезок $OM$ в двух точках;

3) не пересекала отрезок $OM$?

Там, где это возможно, сделай рисунок.

1) пересекала отрезок ОМ в одной точке;
Да, это возможно. Окружность с центром в точке О — это множество всех точек плоскости, находящихся на заданном расстоянии (радиусе $R$) от центра О. Точки отрезка ОМ находятся на расстоянии от О, которое варьируется от 0 (в точке О) до длины отрезка $|OM|$ (в точке М).
Чтобы окружность и отрезок имели ровно одну общую точку, нужно, чтобы радиус окружности $R$ был равен расстоянию от центра О до какой-либо одной точки на отрезке ОМ. Это условие выполняется для любого радиуса $R$, такого что $0 \le R \le |OM|$.
Например, если выбрать радиус окружности равным длине отрезка ОМ (то есть $R = |OM|$), то окружность пройдет через точку М. Все остальные точки отрезка будут лежать внутри окружности, так как расстояние от них до центра О меньше, чем $|OM|$. Таким образом, точка М будет единственной точкой пересечения.

Ответ: да, можно.

2) пересекала отрезок ОМ в двух точках;
Нет, это невозможно. Предположим, что окружность с центром в О и радиусом $R$ пересекает отрезок ОМ в двух разных точках, назовем их А и В.
По определению окружности, все ее точки равноудалены от центра. Следовательно, расстояния от центра О до точек А и В должны быть равны радиусу: $|OA| = R$ и $|OB| = R$. Отсюда следует, что $|OA| = |OB|$.
Однако, точки А и В лежат на отрезке ОМ, который начинается в точке О. Если А и В — разные точки, то одна из них непременно будет дальше от точки О, чем другая. Например, если точка А лежит между О и В, то $|OA| < |OB|$. Это противоречит выводу, что $|OA| = |OB|$.
Таким образом, окружность с центром в одном из концов отрезка не может пересекать этот отрезок в двух точках.
Ответ: нет, нельзя.

3) не пересекала отрезок ОМ?
Да, это возможно. Для того чтобы окружность с центром в О не имела общих точек с отрезком ОМ, необходимо, чтобы все точки отрезка ОМ находились внутри этой окружности.
Расстояние от центра О до самой дальней точки отрезка ОМ — это его длина $|OM|$. Если выбрать радиус окружности $R$ строго больше, чем длина отрезка ОМ (то есть $R > |OM|$), то любая точка $P$ на отрезке ОМ будет удовлетворять условию $|OP| \le |OM| < R$.
Это означает, что расстояние от любой точки отрезка до центра О будет меньше радиуса, и, следовательно, весь отрезок целиком окажется внутри окружности, не имея с ней точек пересечения.

Ответ: да, можно.